Paano ko malulutas ang equation na ito?

Sagot:

# "Tingnan ang paliwanag" #

Paliwanag:

# "Unang ilapat ang nakapangangatwiran pinagmulan teorama upang makahanap ng rational Roots." #

# "Nakikita natin ang" x = 1 "bilang makatuwiran na ugat." #

# "Kaya" (x-1) "ay isang kadahilanan. Ibinahagi namin ang kadahilanan na iyon:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "Mayroon tayong natitirang equation ng kubiko na walang makatwirang pinagmulan." #

# "Maaari naming malutas ito sa pagpapalit ng paraan ng Vieta." #

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Kapalit" x = y + 2/9 ". Pagkatapos makuha namin ang" #

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Substitute" y = (sqrt (22) / 9) z ". Pagkatapos makuha namin" #

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "Kapalit" z = t + 1 / t ". Pagkatapos makuha namin ang" #

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "Substituting" u = t ^ 3 ", ay nagbubunga ng parisukat na equation:" #

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "Isang ugat ng parisukat na equation na ito ay u = 5.73717252." #

# "Ang pagpapalit ng mga variable pabalik, ay magbubunga:" #

#t = root (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2.34879043. #

#y = 1.22408929. #

#x = 1.44631151. #

# "Ang ibang mga ugat ay mahirap unawain:" #

# -0.38982242 pm 0.55586071 i. #

# "(Makikita ang mga ito sa pamamagitan ng paghihiwalay" (x-1.44631151)) #

Sagot:

Ang rational real zero ay # x = 1 #.

Pagkatapos ay mayroong isang hindi makatwiran tunay na zero:

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

at mga kaugnay na di-real kumplikadong mga zero.

Paliwanag:

Ibinigay:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Tandaan na ang kabuuan ng mga coefficients ay #0#.

Yan ay: #3-5+2 = 0#

Samakatuwid maaari naming pagbatayan na # x = 1 # ay isang zero at # (x-1) # isang kadahilanan:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (white) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

Ang natitirang kubiko ay medyo mas kumplikado …

Ibinigay:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Tschirnhaus transformation

Upang gawin ang gawain ng pag-solve ng cubic simpler, ginagawa namin ang cubic na mas simple gamit ang isang linear na pagpapalit na kilala bilang Tschirnhaus transformation.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = t ^ 3-66t-610 #

kung saan # t = (9x-2) #

Ang paraan ni Cardano

Nais naming malutas:

# t ^ 3-66t-610 = 0 #

Hayaan # t = u + v #.

Pagkatapos:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-22) (u + v) -610 = 0 #

Idagdag ang pagpigil # v = 22 / u # upang maalis ang # (u + v) # term at makakuha ng:

# u ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

Multiply sa pamamagitan ng # u ^ 3 # at muling ayusin ang bahagyang upang makakuha ng:

# (u ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

Gamitin ang quadratic formula upang mahanap ang:

# u ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

Dahil ito ay Real at ang pinagmulan ay simetriko sa # u # at # v #, maaari naming gamitin ang isa sa mga ugat na ito para sa # u ^ 3 # at ang iba pang para sa # v ^ 3 # upang makahanap ng Real root:

# t_1 = root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

at kaugnay na mga ugat na Complex:

# t_2 = omega root (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 root (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = omega ^ 2 root (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega root (3) (305-27sqrt (113)) #

kung saan # omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # ay ang primitive Complex cube root ng #1#.

Ngayon # x = 1/9 (2 + t) #. Kaya ang pinagmulan ng aming orihinal na kubiko ay:

# x_1 = 1/9 (2 + root (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113)) #

# x_2 = 1/9 (2 + omega root (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 root (3) (305-27sqrt (113)) #

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 root (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega root (3) (305-27sqrt (113)) #