Paano mo mahanap ang kabuuan ng walang katapusang geometric serye 10 (2/3) ^ n kapag n = 2?

Sagot:

Ang sagot ay alinman #40/9# o #40/3# depende sa kung ano ang ibig sabihin ng tanong.

Paliwanag:

Well kung #n = 2 # kung gayon ay hindi isang kabuuan, ang sagot ay lamang:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Ngunit marahil ang tanong ay sinadya upang hilingin na ang walang katapusang halaga ay magsisimula simula sa # n = 2 # tulad na ang equation ay:

#sum_ (n = 2) ^ kulang 10 (2/3) ^ n #

Sa kasong ito, kakalkulahin namin ito sa pamamagitan ng unang pagpuna na ang anumang geometric na serye ay makikita bilang ang anyo:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

Sa kasong ito, ang aming serye ay may #a = 10 # at #r = 2/3 #.

Tandaan din namin na:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Kaya maaari lamang namin kalkulahin ang kabuuan ng isang geometric na serye # (2/3) ^ n # at pagkatapos ay i-multiply ang halagang iyon #10# upang makarating sa aming resulta. Ginagawa nitong mas madali ang mga bagay.

Mayroon din kaming equation:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

Ito ay nagpapahintulot sa amin upang makalkula ang kabuuan ng serye na nagsisimula mula sa # n = 0 #. Ngunit gusto naming i-compute ito mula sa # n = 2 #. Upang gawin ito, ibababa lamang namin ang # n = 0 # at # n = 1 # mga tuntunin mula sa buong kabuuan. Sumulat sa unang ilang mga tuntunin ng sum out maaari naming makita na ito ay ganito ang hitsura:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Nakita natin na:

(n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#