Sagot:
Tingnan ang paliwanag …
Paliwanag:
Hayaan #t = a_ (cf) (x; b) #
Pagkatapos:
(x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #
Sa ibang salita, # t # ay isang nakapirming punto ng pagmamapa:
#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #
Tandaan na mismo, # t # pagiging isang nakapirming punto ng #F (t) # ay hindi sapat upang patunayan iyon #t = a_ (cf) (x; b) #. Maaaring may mga hindi matatag at matatag na nakapirming mga punto.
Halimbawa, #2016^(1/2016)# ay isang nakapirming punto ng # x -> x ^ x #, ngunit hindi isang solusyon ng # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (Walang solusyon).
Gayunpaman, isaalang-alang natin #a = e #, #x = 0.1 #, #b = 1.0 # at #t = 1.880789470 #
Pagkatapos:
#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0.1 + 1 / 1.880789470) #
# ~~ e ^ (0.1 + 0.5316916199) #
# = e ^ 0.6316916199 #
# ~~ 1.880789471 ~~ t #
Kaya ang halaga ng # t # ay malapit sa isang nakapirming punto ng #F_ (a, b, x) #
Upang patunayan na ito ay matatag, isaalang-alang ang hinangong malapit # t #.
# d / (ds) F_ (e, 1,0.1) (s) = d / (ds) e ^ (0.1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s)
Kaya nakikita natin:
#F '_ (e, 1,0.1) (t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~~ -0.5316916199 #
Dahil ito ay negatibo at ng lubos na halaga mas mababa kaysa sa #1#, ang nakapirming punto sa # t # ay matatag.
Tandaan din na para sa anumang di-zero Real na halaga ng # s # meron kami:
#F '_ (e, 1,0.1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s) <0 #
Yan ay #F_ (e, 1.0.1) (s) # ay mahigpit na monotonically decreasing.
Kaya nga # t # ay ang natatanging matatag na takdang punto.
Sagot:
Nakagawian na pag-uugali
Paliwanag:
Sa #a = e # at #x = x_0 # ang pag-ulit ay sumusunod bilang
#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # at saka
#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #
Suriin natin ang mga kondisyon para sa isang pag-urong sa operator ng pag-ulit.
Pagbubunot ng magkabilang panig
#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #
ngunit sa unang pagtatantya
# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #
o
# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} approx -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-y_ {k-1}) #
Upang magkaroon ng isang pag-urong na kailangan namin
#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #
Ito ay natamo kung
#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. Pag-iisip #b> 0 # at #k = 1 # meron kami.
# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #
Kaya ibinigay # x_0 # at # b # ang kaugnayan na ito ay nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang paunang pag-ulit sa ilalim ng kontraktibo na pag-uugali.
