Ano ang pinakamabilis at pinakamadaling paraan para malutas ang kubiko at quartic equation (walang polinomyal na calculator)?

Sagot:

Depende…

Paliwanag:

Kung ang kubiko o quartic (o anumang antas polinomyal para sa bagay na iyon) ay may rational Roots, pagkatapos ay ang makatuwiran pinagmulan teorama ay maaaring ang pinakamabilis na paraan upang mahanap ang mga ito.

Ang Descartes 'Rule of Signs ay maaari ring makatulong upang matukoy kung ang isang polinomyal na equation ay may positibo o negatibong mga pinagmulan, kaya tulungan patigilin ang paghahanap.

Para sa isang kubiko equation, maaaring makatulong upang suriin ang discriminant:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• Kung #Delta = 0 # pagkatapos ay ang kubiko ay may paulit-ulit na ugat.

• Kung #Delta <0 # kung gayon ang kubiko ay may isang tunay na ugat at dalawang di-tunay na kumplikadong ugat.

• Kung #Delta> 0 # kung gayon ang kubiko ay may tatlong tunay na ugat.

Kung #Delta = 0 # at pagkatapos ay ang kubiko ay nagbabahagi ng isang kadahilanan sa nanggagaling nito, kaya dapat mong mahanap ang kanilang karaniwang kadahilanan sa pamamagitan ng pagkalkula ng polynomial GCF.

Kung hindi man, marahil ay kapaki-pakinabang na gamitin ang pagbabagong Tschirnhaus upang makakuha ng isang nalulungkot na kubiko na walang katapusang termino bago magpatuloy.

Kung ang isang kubiko ay may isang tunay na ugat at dalawang di-tunay na mga bago, pagkatapos ay inirerekumenda ko ang paraan ni Cardano.

Kung mayroon itong tatlong tunay na ugat pagkatapos ay inirerekomenda ko ang paggamit ng isang trigonometriko pagpapalit sa halip.

Para sa quartics, maaari kang makakuha ng isang nalulumbay quartic na walang kataga ng kubo sa pamamagitan ng isang pagpapalit tulad ng #t = x + b / (4a) #.

Kung ang nagresultang quartic ay walang tagal na termino, ito ay isang parisukat # x ^ 2 #. Maaari mong alinman sa malutas na bilang isang parisukat at kumuha ng square roots, o gumamit ng isang factorisation ng form:

(x ^ 2-palakol + b) (x ^ 2 + palakol + b) = x ^ 4 + (2b-a ^ 2) x ^ 2 + b ^ 2 #

Mula dito maaari kang makahanap ng mga parisukat na mga kadahilanan upang malutas.

Kung ang nagresultang quartic ay may haba na termino, maaaring ito ay mabibilang sa anyo:

(x ^ 2-palakol + b) (x ^ 2 + palakol + c) = x ^ 4 + (b + c-a ^ 2) x ^ 2 + a (b-c) x + bc #

Equating coefficients at paggamit # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #, maaari kang makakuha ng isang kubiko # a ^ 2 #. Kaya maaari mong mahanap ang mga posibleng halaga para sa # a #, # b # at # c #. Pagkatapos ay hanapin ang mga zero ng mga parisukat na mga kadahilanan.

May iba pang mga espesyal na kaso, ngunit halos sumasaklaw nito.