Ano ang paraan ng pagpapalawak ng cofactor sa paghahanap ng determinant?

Kamusta !

Hayaan #A = (a_ {i, j}) # maging isang matrix ng laki #n times n #.

Pumili ng hanay: ang numero ng haligi # j_0 # (Isusulat ko: "ang # j_0 #-th column ").

Ang cofactor expansion formula (o formula ni Laplace) para sa # j_0 #-Ing haligi ay

# det (A) = sum_ {i = 1} ^ n a_ {i, j_0} (-1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} #

kung saan # Delta_ {i, j_0} # ang determinant ng matris # A # nang walang nito # i #-th na linya at nito # j_0 #-th haligi; kaya, # Delta_ {i, j_0} # ay isang determinant ng laki # (n-1) times (n-1) #.

Tandaan na ang numero # (- 1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} # ay tinatawag na cofactor ng lugar # (i, j_0) #.

Siguro mukhang kumplikado, ngunit madaling maintindihan sa isang halimbawa. Gusto naming kalkulahin # D #:

Kung bumuo kami sa 2nd column, makakakuha ka

kaya:

Sa wakas, # D = 0 #.

Upang maging mabisa, kailangan mong pumili ng isang linya na may maraming mga zero: ang kabuuan ay magiging napaka-simpleng upang makalkula!

Puna. Dahil # det (A) = det (A ^ text {T}) #, maaari ka ring pumili ng isang linya sa halip ng haligi. Kaya, ang formula ay nagiging

# det (A) = sum_ {j = 1} ^ n a_ {i_0, j} (-1) ^ {i_0 + j} Delta_ {i_0, j} #

kung saan # i_0 # ang bilang ng napiling linya.