Ano ang pinakamaliit na integer n kaya na n! = m cdot 10 ^ (2016)?

Sagot:

# n = 8075 #

Paliwanag:

Hayaan #v_p (k) # maging ang multiplicity ng # p # bilang isang kadahilanan ng # k #. Yan ay, #v_p (k) # ay ang pinakamalaking integer tulad na # p ^ (v_p (k)) | k #.

Mga obserbasyon:

• Para sa anumang #k sa ZZ ^ + # at # p # kalakasan, mayroon kami #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (Ito ay maaaring madaling napatunayan sa pamamagitan ng pagtatalaga sa tungkulin)

• Para sa anumang integer #k> 1 #, meron kami # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (Ito ay madaling maunawaan, bilang mga multiple ng kapangyarihan ng #2# nangyayari nang mas madalas kaysa sa mga multiple ng mga katumbas na kapangyarihan ng #5#, at maaaring napatunayan nang masigla gamit ang isang katulad na argumento)

• Para sa #j, k sa ZZ ^ + #, meron kami #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # para sa anumang mga pangunahing panghati # p # ng # j #.

Pagpapatuloy, ang aming layunin ay upang mahanap ang hindi bababa sa integer # n # tulad na # 10 ^ 2016 | n! #. Bilang # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #, pagkatapos ng ikatlong pagmamasid, kailangan lamang nating kumpirmahin iyon # 2016 <= v_2 (n!) # at # 2016 <= v_5 (n!) #. Ang ikalawang pagmamasid ay nangangahulugan na ang huli ay nagpapahiwatig ng dating. Kaya, ito ay sapat na upang mahanap ang hindi bababa sa integer # n # tulad na # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

Hanapin # n # gagawa kami ng isang pagmamasid na kung saan ay magbibigay-daan sa amin upang kalkulahin # v_5 (5 ^ k!) #.

Sa pagitan #1# at # 5 ^ k #, may mga # 5 ^ k / 5 # multiples of #5#, ang bawat isa ay nag-aambag ng hindi bababa sa #1# sa kabuuan #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. Mayroon din # 5 ^ k / 25 # multiples of #25#, ang bawat isa ay nag-ambag ng karagdagang #1# sa kabuuan pagkatapos ng unang bilang. Maaari kaming magpatuloy sa ganitong paraan hanggang sa maabot namin ang isang solong multiple # 5 ^ k # (na kung saan ay # 5 ^ k # mismo), na nag-ambag # k # beses sa kabuuan. Kinakalkula ang kabuuan sa ganitong paraan, mayroon kami

# v_5 (5 ^ k!) = sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = sum_ (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = sum_ (i = 1) ^ k5 ^ (ki) = sum_ (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

Kaya, nalaman natin iyan # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

Sa wakas, makikita natin # n # tulad na # v_5 (n!) = 2016 #. Kung kinakalkula namin # v_5 (5 ^ k!) # para sa ilang mga halaga ng # k #, nakita namin

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

Bilang #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # n # nangangailangan ng dalawang "bloke" ng #5^5#, dalawa sa #5^4#, apat na #5^3#, at tatlo sa #5^2#. Kaya, makuha namin

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

Ang isang computer ay maaaring mabilis na i-verify iyon #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. Kaya naman #10^2016 | 8075!#, at bilang #5|8075!# na may maraming iba #2016# at #5|8075#, malinaw na walang mas mababang halaga ang magkakaloob.