Kung nag-roll ka ng isang solong mamatay, ano ang inaasahang bilang ng mga roll na kinakailangan upang roll bawat beses isang beses?

Sagot:

# 14.7 "roll" #

Paliwanag:

#P "lahat ng mga numero na itinapon" = 1 - P "1,2,3,4,5, o 6 ay hindi itinapon" #

#P "A o B o C o D o E o F" = P A + P B + … + P F - #

#P A at B - P A at C …. + P A at B and C + … #

# "Dito ito ay" #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1)

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "Ang negatibong ito ay ang aming posibilidad." #

#sum n * a ^ (n-1) = sum (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) sum a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = sum n * P "lahat ng mga numero na itinapon pagkatapos n throws" #

# = sum n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "Kailangan nating ibawas ang isa dahil sa simula ng kondisyon P_1 (0)" #

# "ay nagbibigay ng isang kapintasan na halaga P = 1 para sa n = 1." #

# => P = 15.7 - 1 = 14.7 #

Sagot:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Paliwanag:

Isipin ito tulad ng anim na mini-games. Para sa bawat laro, i-roll namin ang mamatay hanggang sa roll namin ang isang numero na hindi pa pinagsama-kung ano ang tawag namin sa isang "manalo". Pagkatapos ay simulan namin ang susunod na laro.

Hayaan # X # maging ang bilang ng mga roll na kinakailangan upang roll bawat numero ng hindi bababa sa isang beses (ibig sabihin manalo ang lahat ng 6 mini-laro), at ipaalam # X_i # maging ang bilang ng mga roll na kinakailangan upang "manalo" mini-game number # i # (para sa # i # mula 1 hanggang 6). Pagkatapos ng bawat isa # X_i # ay isang geometriko random na variable na may pamamahagi # "Geo" (p_i) #.

Ang inaasahang halaga ng bawat geometriko random na variable ay # 1 / p_i #.

Para sa unang laro, # p_1 = 6/6 # dahil ang lahat ng 6 kinalabasan ay "bago". Kaya, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

Para sa ikalawang laro, 5 sa 6 na kinalabasan ay bago, pagayon # p_2 = 5/6 #. Kaya, # "E" (X_2) = 6/5 = 1.2 #.

Para sa ikatlong laro, 4 sa 6 posibleng listahan ay bago, kaya # p_3 = 4/6 #, ibig sabihin # "E" (X_3) = 6/4 = 1.5 #.

Sa puntong ito, maaari naming makita ang isang pattern. Dahil ang bilang ng mga "winning" roll ay bumababa ng 1 para sa bawat bagong laro, ang posibilidad ng "winning" ang bawat laro ay bumaba mula sa #6/6# sa #5/6#, pagkatapos #4/6#, atbp., ibig sabihin ang inaasahang bilang ng mga roll sa bawat laro napupunta mula sa #6/6# sa #6/5#, sa #6/4#, at iba pa, hanggang sa huling laro, kung saan inaasahan namin na kumuha ng 6 na roll upang makuha ang huling numero.

Kaya:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#color (white) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

#color (white) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

#color (puti) ("E" (X)) = 1 + 1.2 + 1.5 + 2 + 3 + 6 #

#color (white) ("E" (X)) = 14.7 #