Ano ang orthocenter ng isang tatsulok na may sulok sa (9, 5), (3, 8), at (5, 6)?

Sagot:

Mga Hakbang: (1) hanapin ang mga slope ng 2 panig, (2) hanapin ang mga slope ng mga linya patayo sa mga panig, (3) hanapin ang mga equation ng mga linya sa mga slope na dumadaan sa kabaligtaran na mga vertices, (4) hanapin ang punto kung saan ang mga linya ay bumalandra, kung saan ay ang orthocenter, sa kasong ito #(6.67, 2.67)#.

Paliwanag:

Upang mahanap ang orthocenter ng isang tatsulok nakita namin ang mga slope (gradients) ng dalawa sa mga panig nito, pagkatapos ay ang mga equation ng mga linya patayo sa mga panig.

Maaari naming gamitin ang mga slope kasama ang mga coordinate ng punto kabaligtaran ang may-katuturang mga bahagi upang mahanap ang mga equation ng mga linya patayo sa gilid na pumasa sa kabaligtaran anggulo: ang mga ito ay tinatawag na 'altitude' para sa mga panig.

Kung saan ang mga altitude para sa dalawa sa mga panig na cross ay ang orthocenter (ang altitude para sa ikatlong panig ay pumasa din sa puntong ito).

Lagyan ng label ang aming mga punto upang gawing mas madali ang pagtukoy sa mga ito:

Point A = #(9, 5)#

Point B = #(3, 8)#

Point C = #(5, 6)#

Upang mahanap ang slope, gamitin ang formula:

#m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #

#m_ (AB) = (8-5) / (9-3) = 3/6 = 1/2 #

#m_ (BC) = (6-8) / (5-3) = (- 2) / 2 = -1 #

Hindi namin gusto ang mga slope na ito, bagaman, ngunit ang mga slope ng mga linya ay patayo (sa tamang mga anggulo) sa kanila. Ang linya patayo sa isang linya na may slope # m # may slope # -1 / m #, kaya ang linya patayo sa # AB # may slope #-2# at ang linya patayo sa # BC # may slope #1#.

Ngayon makikita natin ang mga equation ng mga altitude ng Point C (kabaligtaran AB) at Point A (kabaligtaran BC) ayon sa pagkakabanggit sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coordinate ng mga puntong iyon sa equation

# y = mx + c #

Para sa Point C, ang altitude ay:

# 6 = -2 (5) + c # na nagbibigay # c = 6 + 10 = 16 # samakatuwid #y = -2x + 16 #

Katulad nito, para sa Point A:

# 5 = 1 (9) + c # na nagbibigay # c = 5-9 = -4 # kaya ang equation ay:

# y = x-4 #

Upang mahanap ang orthocenter, kailangan lang nating hanapin ang punto kung saan ang dalawang linya ay tumatawid. Maaari nating pantayin ang mga ito sa bawat isa:

# -2x + 16 = x-4 #

Pag-aayos muli, # 3x = 20 hanggang x ~~ 6.67 #

Palitan sa alinmang equation upang mahanap ang # y # halaga, na kung saan ay #2.67#.

Samakatuwid ang orthocenter ay ang punto #(6.67, 2.67)#.