Paano mo mapatunayan ang arcsin x + arccos x = pi / 2?

Sagot:

tulad ng ipinapakita

Paliwanag:

Hayaan

# arcsinx = theta #

pagkatapos

# x = sintheta = cos (pi / 2-theta) #

# => arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Sagot:

Ang pahayag ay totoo kapag ang mga kabaligtaran na mga function ng trig ay tumutukoy sa mga pangunahing halaga, ngunit nangangailangan ito ng mas maingat na atensyon na maipakita kaysa sa iba pang sagot ay nagbibigay.

Kapag ang mga kabaligtaran na mga function ng trig ay itinuturing na multivalued, makakakuha tayo ng mas maraming nuanced na resulta, halimbawa

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # ngunit #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Kailangan nating ibawas upang makuha # pi / 2 #.

Paliwanag:

Ang isang ito ay mas mabigat kaysa sa hitsura nito. Ang ibang sagot ay hindi nagbigay ng tamang paggalang.

Ang isang pangkalahatang kombensyon ay ang paggamit ng maliit na titik #arccos (x) # at #arcsin (x) # bilang multivalued expression, bawat isa ayon sa pagkakasunud-sunod na nagpapahiwatig ng lahat ng mga halaga na ang cosine o sine ay may isang ibinigay na halaga # x #.

Ang kahulugan ng kabuuan ng mga ito ay talagang bawat posibleng kombinasyon, at ang mga hindi palaging ibinibigay # pi / 2. # Hindi nila kahit na laging ibigay ang isa sa mga anggulo ng palakol # pi / 2 + 2pi k quad # integer # k #, tulad ng ipapakita namin ngayon.

Tingnan natin kung paano ito gumagana nang una sa mga multivalued inverse trig function. Tandaan sa pangkalahatan # cos x = cos a # May mga solusyon # x = pm isang + 2pi k quad # integer # k #.

# c = arccos x # talagang ibig sabihin nito

#x = cos c #

#s = arcsin x # talagang ibig sabihin nito

#x = sin s #

#y = s + c #

# x # naglalaro ang papel na ginagampanan ng isang tunay na parameter na nagmumula sa #-1# sa #1#. Gusto naming malutas # y #, hanapin ang lahat ng mga posibleng halaga ng # y # na may isang #x, s # at # c # na gumagawa ng mga sabay-sabay na equation na ito #x = cos c, x = sin s, y = s + c # totoo.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Ginagamit namin ang aming pangkalahatang solusyon sa itaas tungkol sa pagkakapantay-pantay ng mga cosine.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # integer # k #

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

Kaya nakukuha natin ang mas maraming malabo na resulta, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(Ito ay pinapayagan na i-flip ang pag-sign on # k. #)

Ituturo natin ngayon ang mga pangunahing halaga, na isinulat ko sa malalaking titik:

Ipakita #text {Arc} text {sin} (x) + text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 #

Totoo ang pahayag para sa mga pangunahing halaga na tinukoy sa karaniwang paraan.

Ang kabuuan ay tinukoy lamang (hanggang makukuha natin ang malalim sa mga kumplikadong numero) para sa # -1 le x le 1 # dahil ang wastong sines at cosines ay nasa hanay na iyon.

Titingnan namin ang bawat panig ng katumbas

# text {Arc} text {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)

Dadalhin namin ang cosine ng magkabilang panig.

#cos (text {Arc} text {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)) = sin (text {Arc} text {sin} (x)

Kaya't nang hindi nag-aalala tungkol sa mga palatandaan o mga halaga ng punong-guro kami sigurado

#cos (text {Arc} text {cos} (x)) = cos (pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)

Ang nakakalito na bahagi, ang bahagi na nararapat paggalang, ay ang susunod na hakbang:

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad # HINDI TANONG YET

Kailangan tayong maglakad nang mabuti. Kunin natin ang positibo at negatibo # x # hiwalay.

Una # 0 le x le 1 #. Ito ay nangangahulugan na ang mga pangunahing halaga ng parehong mga kabaligtaran ng trig function ay sa unang kuwadrante, sa pagitan #0# at # pi / 2. # Napipigil sa unang kuwadrante, ang mga pantay na cosine ay nagpapahiwatig ng mga pantay na anggulo, kaya tinatapos natin #x ge 0, #

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad #

Ngayon # -1 le x <0. # Ang pangunahing halaga ng inverse sign ay nasa ikaapat na kuwadrante, at para sa #x <0 # karaniwan naming tinutukoy ang pangunahing halaga sa saklaw

# - pi / 2 le text {Arc} text {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - text {Arc} text {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) le pi #

Ang halaga ng punong-guro para sa negatibong inverse cosine ay ang pangalawang kuwadrante, # pi / 2 <text {Arc} text {cos} (x) le pi #

Kaya kami ay may dalawang mga anggulo sa pangalawang kuwadrante na ang mga cosine ay pantay, at maaari naming tapusin ang mga anggulo ay pantay-pantay. Para sa #x <0 #, #text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad #

Kaya alinman sa paraan, # text {Arc} text {sin} (x) + text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #