Paano mo mahanap ang antiderivative ng (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Sagot:

#arctan (e ^ x) + C #

Paliwanag:

# "isulat" e ^ x "dx bilang" d (e ^ x) ", pagkatapos makuha namin ang" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "sa pagpapalit y =" e ^ x ", makakakuha tayo ng" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "na katumbas ng" #

#arctan (y) + C #

# "Ngayon ipalit muli" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Sagot:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

Paliwanag:

Gusto nating hanapin # inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = int1 / (1+ (e ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #

Ngayon ipaalam # u = e ^ x # at kaya kinukuha ang pagkakaiba sa magkabilang panig # du = e ^ xdx #. Ngayon kami ay kapalit ng parehong mga equation na ito sa mahalaga upang makakuha ng

# int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

Ito ay isang karaniwang integral na sinusuri sa # arctanu #. Substituting back for # x # makakakuha tayo ng pangwakas na sagot:

#arctan e ^ x + "c" #

Sagot:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Paliwanag:

Una, hinahayaan natin # u = 1 + e ^ (2x) #. Upang pagsamahin ang may paggalang sa # u #, binabahagi natin ang pinagmulan ng # u #, na kung saan ay # 2e ^ (2x) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

Upang pagsamahin ang may paggalang sa # u #, kailangan namin ang lahat ng ipinahayag sa mga tuntunin ng # u #, kaya kailangan nating malutas kung ano # e ^ x # ay sa mga tuntunin ng # u #:

# u = 1 + e ^ (2x) #

# e ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# x = 1 / 2ln (u-1) #

# x = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# e ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

Ngayon ay maaari naming i-plug ito pabalik sa mahalaga:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u)

Susunod ipakilala namin ang isang pagpapalit sa # z = sqrt (u-1) #. Ang hinango ay:

# (dz) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

kaya hinati natin ito upang maisama nang may paggalang # z # (tandaan na ang paghahati ay katulad ng pagpaparami ng kapalit):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz =

# = 2 / 2int 1 / u dz #

Ngayon, kami ay muli naming may mali variable, kaya kailangan naming malutas para sa kung ano # u # ay pantay-pantay sa mga tuntunin ng # z #:

# z = sqrt (u-1) #

# u-1 = z ^ 2 #

# u = z ^ 2 + 1 #

Nagbibigay ito ng:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

Ito ang karaniwang pinagkukunan ng # tan ^ -1 (z) #, kaya makuha namin ang:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

Ang pag-undo sa lahat ng mga pamalit, makakakuha tayo ng:

# tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1)) + C = tan ^ -1 ((e ^ (2x)) ^ (1/2)) + C =

# = tan ^ -1 (e ^ x) + C #