Tanong # 35a7e

Sagot:

Tulad ng nabanggit sa mga komento sa ibaba, ito ang serye ng MacLaurin para sa #f (x) = cos (x) #, at nalalaman namin na ito ay nagtatagpo # (- oo, oo) #. Gayunpaman, kung nais mong makita ang proseso:

Paliwanag:

Dahil mayroon kaming isang factorial sa denamineytor, ginagamit namin ang ratio test, dahil ginagawa nito ang mga pagpapasimple nang mas madali. Ang formula na ito ay:

#lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

Kung ito ay <1, ang iyong serye ay nagtatagpo

Kung ito ay> 1, ang iyong serye ay lumiliko

Kung ito ay = 1, ang iyong pagsubok ay walang tiyak na paniniwala

Kaya, gawin natin ito:

#lim_ (k-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k +2) / ((2k +2)!)) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Tandaan: Maging maingat tungkol sa kung paano mo ikabit ang iyong (k + 1). 2k ay magiging 2 (k + 1), HINDI 2k + 1.

Pinarami ako ng kapalit ng # x ^ (2k) / ((2k)!) # sa halip na paghati upang gawing mas madali ang gawain.

Ngayon, let algebra natin. Dahil sa lubos na halaga, ang aming alternating mga termino (ibig sabihin. # (- 1) ^ k #) ay magkakaroon lamang ng kanselahin, dahil palagi tayong may positibong sagot:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k)

Maaari naming kanselahin ang aming # x ^ (2k) #'s:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) #

Ngayon kailangan naming kanselahin ang factorials.

Alalahanin iyan # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

Gayundin, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Pansinin:

# (2k)! = kulay (pula) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)

# (2k + 2)! (2k + 2) * (2k + 1) * kulay (pula) (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)

Tulad ng nakikita mo, kami # (2k)! # ay mahalagang bahagi ng # (2k + 2)! #. Maaari naming gamitin ito upang kanselahin ang bawat karaniwang term:

= (2k + 2)!) = Kanselahin (kulay (pula) (2k) * (2k-1) * (2k-2) (2k + 2) * (2k + 1) * kanselahin (kulay (pula) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Dahon ito

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

Ngayon, maaari naming suriin ang limitasyon na ito. Tandaan na dahil hindi namin tinatanggap ang limitasyon na ito # x #, maaari naming i-factor ito:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Kaya't nakikita mo, ang limitasyong ito = 0, na mas mababa sa 1. Ngayon, hinihiling namin ang ating sarili: Mayroon bang halaga ng # x # kung saan ang limitasyon na ito ay 1? At ang sagot ay hindi, dahil ang anumang bagay na multiplied sa 0 ay 0.

Kaya, dahil (x) (2k + 2) / ((2k + 2) para sa lahat ng mga halaga ng # x #, maaari naming sabihin na ito ay may agwat ng konvergence ng # (- oo, oo) #.

Hope na tumulong:)