Hayaang maging N ang pinakamaliit na integer na may 378 divisors. Kung N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, ano ang halaga ng {a, b, c, d} sa NN?

$Hayaang maging N ang pinakamaliit na integer na may 378 divisors. Kung N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, ano ang halaga ng {a, b, c, d} sa NN?$

Sagot:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #

Paliwanag:

Given isang numero # n # na may pangunahing paktorisasyon #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #, bawat tagahatid ng # n # ay nasa anyo # p_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # kung saan #beta_i sa {0, 1, …, alpha_i} #. Tulad ng mayroon # alpha_i + 1 # mga pagpipilian para sa bawat isa # beta_i #, ang bilang ng mga divisors ng # n # ay binigay ni

# (alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

Bilang # N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #, ang bilang ng mga divisors ng # N # ay binigay ni # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d +1) = 378 #. Kaya, ang aming layunin ay hanapin #(a B C D)# tulad ng hawak ng produkto sa itaas at # 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d # ay minimal. Habang minimizing namin, ipagpapalagay namin mula sa puntong ito pasulong na #a> = b> = c> = d # (kung ito ay hindi ang kaso, maaari naming magpalitan exponents upang makakuha ng isang mas mababang resulta sa parehong bilang ng mga divisors).

Nakikilala iyon # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #, maaari naming isaalang-alang ang posibleng mga kaso kung saan #378# ay isinulat bilang isang produkto ng apat na integer # k_1, k_2, k_3, k_4 #. Maaari naming siyasatin ang mga ito upang makita kung saan gumagawa ng hindi bababa sa resulta para sa # N #.

Format: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

#color (pula) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

Maaari tayong tumigil dito, dahil ang iba pang mga kaso ay magkakaroon ng ilan #k_i> = 27 #, pagbibigay # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, na mas malaki kaysa sa ating pinakamahusay na kaso.

Sa pamamagitan ng gawa sa itaas, kung gayon, ang #(a B C D)# na gumagawa ng napakaliit # N # may #378# divisors ay # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #, pagbibigay #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #

Ano ang mga sukat ng isang kahon na gagamit ng pinakamaliit na halaga ng mga materyales, kung ang kumpanya ay nangangailangan ng nakasarang kahon kung saan ang ibaba ay nasa hugis ng isang parihaba, kung saan ang haba ay dalawang beses hangga't ang lapad at ang kahon ay dapat 9000 kubiko pulgada ng materyal?

Magsimula tayo sa pamamagitan ng paglalagay sa ilang mga kahulugan. Kung tumawag kami h ang taas ng kahon at x ang mas maliit na panig (kaya ang mas malaking panig ay 2x, maaari naming sabihin na dami V = 2x * x * h = 2x ^ 2 * h = 9000 mula sa kung saan namin kunin hh = 9000 / (2x ^ 2) = 4500 / x ^ 2 Ngayon para sa mga ibabaw (= materyal) Tuktok at ibaba: 2x * x beses 2-> Area = 4x ^ 2 Maikling panig: x * h beses 2-> Area = 2xh Long side: * h beses 2-> Area = 4xh Kabuuang lugar: A = 4x ^ 2 + 6xh Substituting para sa h A = 4x ^ 2 + 6x * 4500 / x ^ 2 = 4x ^ 2 + 27000 / x = 4x ^ 2 + 27000x ^ -1 Upang mahanap ang mini

Hayaan ang 5a + 12b at 12a + 5b ay ang mga haba ng gilid ng isang tatsulok na hugis-kanan at 13a + kb ay ang hypotenuse, kung saan ang isang, b at k ay positive integers. Paano mo mahanap ang pinakamaliit na posibleng halaga ng k at ang pinakamaliit na halaga ng a at b para sa k?

K = 10, a = 69, b = 20 Sa Pythagoras 'teorama, mayroon kami: (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 Iyon ay: 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 kulay (puti) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 Magbawas sa kaliwang bahagi mula sa magkabilang dulo upang mahanap: 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 kulay (puti) (0) = b ((240-26k) a + ( 169-k ^ 2) b) Dahil b> 0 kami ay nangangailangan ng: (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 Pagkatapos ay dahil sa a, b> 0 ay nangangailangan kami (240-26k) at (169-k ^ 2) upang magkaroon ng tapat na mg

Ang isang integer ay 15 higit sa 3/4 ng isa pang integer. Ang kabuuan ng mga integer ay mas malaki sa 49. Paano mo nahanap ang pinakamaliit na halaga para sa dalawang integer na ito?

Ang 2 integers ay 20 at 30. Hayaan x ay isang integer Pagkatapos 3 / 4x + 15 ay ang pangalawang integer Dahil ang kabuuan ng mga integer ay mas malaki kaysa sa 49, x + 3 / 4x + 15> 49 x + 3 / 4x> 49 -15 7 / 4x> 34 x> 34times4 / 7 x> 19 3/7 Samakatuwid, ang pinakamaliit na integer ay 20 at ang pangalawang integer ay 20times3 / 4 + 15 = 15 + 15 = 30.