Tulong po. Hindi ako sigurado kung paano gawin ito nang mabilis nang hindi pagpaparami ang lahat ng ito?

Sagot:

Ang sagot sa (i) ay #240#.

Ang sagot sa (ii) ay #200#.

Paliwanag:

Magagawa natin ito gamit ang Pascal's Triangle, na ipinapakita sa ibaba.

(i)

Yamang ang exponent ay #6#, kailangan nating gamitin ang ikaanim na hanay sa tatsulok, na kinabibilangan #color (purple) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # at #color (purple) 1 #. Talaga, gagamitin namin #color (asul) 1 # bilang unang termino at #color (pula) (2x) # bilang pangalawang. Pagkatapos, maaari naming likhain ang sumusunod na equation. Ang tagumpay ng unang term ay nagdaragdag sa pamamagitan ng #1# sa bawat oras at sa exponent ng ikalawang termino nababawasan sa pamamagitan ng #1# sa bawat kataga mula sa tatsulok.

(kulay (purple) 1 * kulay (bughaw) (1 ^ 0) * kulay (pula) ((2x) ^ 6) (kulay (kulay) (kulay-lila) 15 * kulay (asul) (1 ^ 2) * kulay (pula) ((2x) ^ 4) kulay (pula) (1 ^ 4) * kulay (pula) ((2x) ^ 2)) + (kulay (lilang) 6 * kulay (bughaw) (1 ^ 5) * kulay (pula) ((2x) ^ 1) pula) ((2x) ^ 0)) #

Pagkatapos, maaari nating gawing simple ito.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

Samakatuwid, ang koepisyent ng # x ^ 4 # ay #240#.

(ii)

Alam na namin ang pagpapalawak ng # (1 + 2x) ^ 6 #. Ngayon, maaari naming i-multiply ang dalawang expression na magkasama.

#color (brown) (1-x (1/4)) * kulay (orange) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1)

Ang koepisyent ng # x # sa # 1-x (1/4) # ay #1#. Kaya, alam namin na ito ay magtataas ng mga halaga ng mga exponents sa iba pang mga expression sa pamamagitan ng #1#. Sapagkat kailangan natin ang koepisyent ng # x ^ 4 #, kailangan lang nating magparami # 160x ^ 3 # sa pamamagitan ng # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

Ngayon, kailangan nating idagdag ito # 240x ^ 4 #. Ito ay isang bahagi ng solusyon ng # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #, dahil sa pagpaparami ng #1#. Mahalaga ito sapagkat mayroon din itong isang eksponente ng #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #

Samakatuwid, ang koepisyent ay #200#.

Sagot:

i. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

Paliwanag:

Ang pagpapalawak ng binomyal para sa # (a + bx) ^ c # maaaring kinakatawan bilang:

#sum_ (n = 0) ^ c (c!) / (n! (c-n)!) a ^ (c-n) (bx) ^ n #

Para sa part 1 kailangan lang natin # n = 4 #:

# (6!) / (4! (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

Para sa bahagi 2, kailangan din namin ang # x ^ 3 # matagalang dahil sa # x / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (-x / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #