Ano ang ibig sabihin ng limitasyon ng isang walang katapusang pagkakasunud-sunod?

Ano ang ibig sabihin ng limitasyon ng isang walang katapusang pagkakasunud-sunod?
Anonim

Ang limitasyon ng walang katapusang pagkakasunod-sunod ay nagsasabi sa amin tungkol sa mahabang pag-uugali ng ito.

Given isang pagkakasunud-sunod ng mga tunay na numero # a_n #, ito ay limitasyon #lim_ (n sa oo) a_n = lim a_n # ay tinukoy bilang isang solong halaga na ang mga pagkakasunod-sunod ay nalalapit (kung nalalapit ito sa anumang halaga) habang ginagawa namin ang index # n # mas malaki. Ang limitasyon ng isang pagkakasunod-sunod ay hindi laging umiiral. Kung gagawin nito, ang pagkakasunud-sunod ay sinabi na nagtatagpo, kung hindi, ito ay sinabi na divergent.

Dalawang simpleng halimbawa:

  • Isaalang-alang ang pagkakasunud-sunod # 1 / n #. Madaling makita na limitado iyon #0#. Sa katunayan, bibigyan ng anumang positibong halaga na malapit sa #0#, maaari nating makita ang isang napakahusay na halaga ng # n # tulad na # 1 / n # ay mas mababa sa ibinigay na halaga na ito, nangangahulugan na ang limitasyon ay dapat na mas mababa o katumbas ng zero. Gayundin, ang bawat termino ng pagkakasunud-sunod ay mas malaki pagkatapos zero, kaya limitado ito ay dapat na mas malaki o katumbas ng zero. Samakatuwid, ito ay #0#.

  • Dalhin ang patuloy na pagkakasunud-sunod #1#. Iyon ay, para sa anumang ibinigay na halaga ng # n #, ang termino # a_n # ng pagkakasunod-sunod ay katumbas ng #1#. Ito ay malinaw na hindi mahalaga kung gaano kalaki ang ginagawa namin # n # ang halaga ng pagkakasunud-sunod ay #1#. Kaya limitado ito #1#.

Para sa isang mas mahigpit na kahulugan, hayaan # a_n # maging isang pagkakasunud-sunod ng mga tunay na numero (iyon ay, #forall n sa NN: a_n sa RR #) at #epsilon sa RR #. Pagkatapos ay ang numero # a # ay sinabi na ang limitasyon ng pagkakasunud-sunod # a_n # kung at kung lamang kung:

#forall epsilon> 0 umiiral N sa NN: n> N => | a_n - a | <epsilon #

Ang kahulugan na ito ay katumbas ng impormal na kahulugan na ibinigay sa itaas, maliban na hindi namin kailangang magpataw ng unicity para sa limitasyon (maaaring ito ay deduced).