Suriin ang walang katiyakan na integral: sqrt (10x-x ^ 2) dx?

Sagot:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

Paliwanag:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Kumpletuhin ang parisukat, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Kapalit # u = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

Kapalit # u = 5sin (v) # at # du = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

Pasimplehin, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

Pinuhin, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Kunin ang pare-pareho, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Ilapat ang double formula ng anggulo, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Kunin ang pare-pareho, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

Isama, # 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

Ibalik sa likod # v = arcsin (u / 5) # at # u = x-5 #

# 25/2 (arcsin ((x-5) / 5) + kanselahin (1 / 2sin) (kanselahin (2arcsin) ((x-5) / 5)

Pasimplehin, # 25/2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

Pinuhin, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x-5) + c #, kung saan # c # ay ang patuloy na pagsasama.

Tadaa: D

Sagot:

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) 25 / 2arcsin ((x-5) / 5)

Paliwanag:

Ano ang #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Tandaan na ang domain ng function na isinama ay kung saan ang panloob na parisukat ay positibo, ibig sabihin. #x sa 0, 10 #

Ang expression na ito ay maaaring isinama gamit ang mga pamalit. Kahit na ang isang posibleng pathway para sa pagsasama ay hindi agad na nagpapakita mismo, kung nakikipagkumpitensya tayo sa parisukat, maaaring maisagawa ang isang trigonometriko pagpapalit:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Alin, napansin natin, ay nasa klasikong form ng trigonometriko na pagpapalit, ibig sabihin ang parisukat ng isang bilang minus ang parisukat ng isang linear # x # function.

Una, upang mapupuksa ang linear, hayaan namin #u = x-5 #, na nagbibigay # du = dx #, kaya maaari naming isulat ang integral sa itaas bilang:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Ngayon para sa pangalawang pagpapalit, hayaan #u = 5sintheta #, na nagbabago ang mahalaga sa:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (maaari naming balewalain ang mga ganap na mga bracket na halaga)

Siyempre, ang # dx # ay hindi nakatutulong, kaya binibigyang-iba natin ang equation ng pagpapalit upang makuha ang: #du = 5costheta d theta #, kaya ang integral ay nagiging:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

Ngayon ay maaari naming gamitin ang isang double anggulo formula upang gumawa ng pagsasama # cos ^ 2 theta # mas madali:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Kaya ang integral ay nagiging:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (gamit ang isang double-angle formula)

Ngayon, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Kaya, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

At, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 ((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)

# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) 25 / 2arcsin ((x-5) / 5)