Patunayan na ang curves x = y ^ 2 at xy = k gupitin sa tamang mga anggulo kung 8k ^ 2 = 1?

Sagot:

#-1#

Paliwanag:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

ang dalawang kurva ay

#x = y ^ 2 #

at

#x = sqrt (1/8) / y o x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

para sa curve #x = y ^ 2 #, ang hinangong may kinalaman sa # y # ay # 2y #.

para sa curve #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, ang hinangong may kinalaman sa # y # ay # -sqrt (1/8) y ^ -2 #.

ang punto na kung saan ang dalawang kurva ay matugunan ay kapag # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

dahil #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

ang punto kung saan nakikita ang mga curve # (1/2, sqrt (1/2)) #

kailan #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

ang gradient ng padaplis sa curve #x = y ^ 2 # ay # 2sqrt (1/2), o 2 / (sqrt2) #.

kailan #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

ang gradient ng padaplis sa curve #xy = sqrt (1/8) # ay # -2sqrt (1/8), o -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Hinahanap namin ang isang kalagayan ng # k # tulad ng mga curves # x = y ^ 2 # at # xy = k # "i-cut sa tamang mga anggulo". Mathematically nangangahulugan ito na ang curves ay dapat na orthogonal, na kung saan naman ay nangangahulugan na sa lahat ng mga puntos ang mga tangents sa curves sa anuman Ang ibinigay na punto ay patayo.

Kung susuriin natin ang pamilya ng mga alon para sa iba't ibang mga halaga ng # k # makakakuha tayo ng:

Tandaan namin kaagad na hinahanap namin ang isang solong punto kung saan ang padapuan ay patayo kaya sa pangkalahatan ang mga curve ay hindi orthogonal sa lahat ng mga punto.

Hanapin muna natin ang solong coordinate, # P #, ng punto ng intersection, na kung saan ay ang sabay-sabay na solusyon ng:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Ang pagpapalit ng Eq A sa B makakakuha tayo ng:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = root (3) (k) #

At kaya naming itatag ang intersection coordinate:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Kailangan din namin ang gradients ng tangents sa coordinate na ito. Para sa unang curve:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Kaya ang gradient ng padaplis, # m_1 #, hanggang sa unang curve sa # P # ay:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Katulad nito, para sa ikalawang kurba:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Kaya ang gradient ng padaplis, # m_2 #, sa pangalawang curve sa # P # ay:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Kung ang dalawang tangents ay patayo pagkatapos ay kailangan namin na:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Nangunguna sa ibinigay na resulta:

# 8k ^ 2 = 1 # QED

At sa ganitong halaga ng # k #