Tan3x = 3Tanx-Tan ^ 3x sa pamamagitan ng 1-3tan ^ 2x Patunayan ito?

Sagot:

Mahusay na dumaan sa isang Katunayan nasa Paliwanag.

Paliwanag:

Meron kami, #tan (x + y) = (tanx + tany) / (1-tanxtany) ………… (brilyante) #.

Pagpapaalam # x = y = A #, makakakuha tayo, #tan (A + A) = (tanA + tanA) / (1-tanA * tanA) #.

#:. tan2A = (2tanA) / (1-tan ^ 2A) ………… (diamond_1) #.

Ngayon, dalhin namin, sa # (brilyante), x = 2A, at, y = A #.

#:. tan (2A + A) = (tan2A + tanA) / (1-tan2A * tanA) #.

#:. tan3A = {(2tanA) / (1-tan ^ 2A) + tanA} / {1- (2tanA) / (1-tan ^ 2A) * tanA}, # 2 (2tanA + tanA (1-tan ^ 2A)) / (1-tan ^ 2A)} -: {1- (2tan ^ 2A) / (1-tan ^, # = (2tanA + tanA-tan ^ 3A) / (1-tan ^ 2A-2tan ^ 2A) #.

# rArr tan3A = (3tanA-tan ^ 3A) / (1-3tan ^ 2A) #, gaya ng ninanais!

Gawin natin ito mula sa mga unang alituntunin mula kay De Moivre:

#cos 3 x + i sin 3x = (cos x + i sin x) ^ 3 #

Gamit ang #1,3,3,1# hilera ng tatsulok ng Pascal, #cos 3 x + i sin 3x #

# = cos ^ 3 x + 3 cos ^ 2 x (i sin x) + 3 cos x (i ^ 2 sin ^ 2 x) + i ^ 3 sin ^ 3 x #

# = (cos ^ 3 x- 3 cos x sin ^ 2 x) + i (3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x) #

Pagsasama ng kani-kanilang mga tunay at mga haka-haka na bahagi, # cos 3 x = cos ^ 3 x- 3 cos x sin ^ 2 x #

# sin 3x = 3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x #

Iyon ay (isang medyo nakakubli na form ng) ang triple angle formula, at kadalasan isusulat lamang namin ang mga ito o isang mas karaniwang form down at magsimula mula dito.

# tan 3x = frac {sin 3x} {cos 3x} = frac {3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x} {cos ^ 3 x- 3 cos x sin ^ 2 x} cdot frac {1 / cos ^ 3 x} {1 / cos ^ 3 x} #

#tan 3x = frac {3 tan x - tan ^ 3 x} {1 - 3 tan ^ 2 x} quad square #