Sabihin nating ang K at L ay dalawang magkakaibang subspace real vector space V. Kung ibinigay na dim (K) = dim (L) = 4, kung paano matukoy ang minimal na dimensyon ay posible para sa V?

Sagot:

5

Paliwanag:

Hayaan ang apat na vectors # k_1, k_2, k_3 # at # k_4 # bumuo ng isang batayan ng puwang ng vector # K #. Mula noon # K # ay isang subspace ng # V #, ang apat na vectors ay bumubuo ng isang linearly independent set sa # V #. Mula noon # L # ay isang subspace ng # V # Iba sa # K #, dapat mayroong hindi bababa sa isang elemento, sabihin # l_1 # sa # L #, na hindi naroroon # K #, i.e, na hindi isang linear na kumbinasyon ng # k_1, k_2, k_3 # at # k_4 #.

Kaya, ang set # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # ay isang linear na independiyenteng hanay ng mga vectors # V #. Kaya ang dimensionality ng # V # ay hindi bababa sa 5!

Sa katunayan, ito ay posible para sa span ng # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # upang maging buong puwang ng vector # V # - upang ang minimum na bilang ng mga vectors na batayan ay dapat na 5.

Tulad ng isang halimbawa, hayaan # V # maging # RR ^ 5 # at hayaan # K # at # V # binubuo ng mga vectors ng mga form

# ((alpha), (beta), (gamma), (delta), (0)) # at # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

Madaling makita ang mga vectors

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#at #((0),(0),(0),(0),(0))#

bumuo ng isang batayan ng # K #. Ilagay ang vector #((0),(0),(0),(0),(0))#, at makakakuha ka ng batayan para sa buong puwang ng vector,