Ano ang arclength ng r = 4theta sa theta sa [-pi / 4, pi]?

Sagot:

#approx 27.879 #

Paliwanag:

Ito ay isang outline na paraan. Ang paggiling ng ilan sa mga gawain ay ginawa ng computer.

Haba ng arko #s = int dot s dt #

at #dot s = sqrt (vec v * vec v) #

Ngayon, para #vec r = 4 theta hat r #

#vec v = dot r hat r + r dot theta hat theta #

# = 4 dot theta hat r + 4 theta dot theta hat theta #

# = 4 dot theta (hat r + theta hat theta) #

Kaya #dot s = 4 dot theta sqrt (1 + theta ^ 2) #

Haba ng arko #s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2) sqrt (1 + theta ^ 2) dot theta dt #

# = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta #

# = 2 theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta _ (- pi / 4) ^ (pi) # solusyon sa computer. Tingnan ang Youtube na naka-link dito para sa paraan

#approx 27.879 # solusyon sa computer

Ano ang arclength ng r = 3 / 4theta sa theta sa [-pi, pi]?

L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) mga unit. Ang ranggo ay ibinigay sa pamamagitan ng: L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16theta ^ 2 + 9/16) d theta Pasimplehin: L = 3 / 4int_-pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Mula simetriya: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Ilapat ang pagpapalit theta = tanphi: L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi Ito ay isang mahalagang integral: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] Baliktarin ang pagpapalit: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln Ipasok ang mga limitasyon ng pagsasama: L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1))

Ipakita na, (1 + cos theta + i * sin theta) ^ n + (1 + cos theta - i * sin theta) ^ n = 2 ^ (n + 1) * (cos theta / 2) ^ n * cos n * theta / 2)?

Mangyaring tingnan sa ibaba. (1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2costheta) = sqrt (2 + 4cos ^ 2 (theta / 2 ) 2) = 2cos (theta / 2) at tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (theta / 2) cos (theta / 2) (theta / 2) o alpha = theta / 2 pagkatapos 1 + costheta-isintheta = r (cos (-alpha) + isin (-alpha)) = r (cosalpha-isinalpha) at maaari naming isulat (1 + costheta + ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ gamit ang teorem ng DE MOivre bilang r ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) = 2r ^ ncosnalpha = 2 * 2 ^ ncos ^ n (theta / 2) cos ((ntheta) / 2) = 2 ^ (n + 1) cos ^ n (theta / 2) cos ((ntheta) / 2)

Kung ang sin angta + cos theta = p, ano ang kasalanan ^ 2 theta + cos ^ 4theta sa mga tuntunin ng p?

1 - ((p ^ 2-1) / 2) ^ 2 (sintheta + costheta) ^ 2 = 1 + 2sinthetacostheta = p ^ 2 kaya sinthetacostheta = (p ^ 2-1) / 2 ngayon sin ^ 2theta + cos ^ 4theta = sin ^ 2theta + (1-sin ^ 2theta) cos ^ 2theta = 1-sin ^ 2thetacos ^ 2theta at pagsasama ng lahat ng kasalanan ^ 2theta + cos ^ 4theta = 1 - ((p ^ 2-1) / 2) ^ 2