Ano ang int (cos (x)) ^ 4 dx?

Sagot:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + kasalanan (4x) #

Paliwanag:

Habang sa simula ay lumilitaw na isang talagang nakakainis na integral, maaari tayong tunay na pagsamantalahan ang mga pagkakakilanlan ng trigura upang sirain ang mahalagang bahagi na ito sa isang serye ng mga simpleng mga integral na mas pamilyar tayo.

Ang pagkakakilanlan na gagamitin namin ay:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

Ito ay nagpapahintulot sa amin na manipulahin ang aming equation bilang tulad:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

Maaari na nating ilapat muli ang aming panuntunan upang maalis ang cos ^ 2 (2x) sa loob ng nakasulat na panuntunan:

# 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2+ 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3+ 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

Ngayon kami ay may tunay na simpleng pagsasama-sama ng problema, maaari naming ipamahagi ang mahalaga sa aming mga magulang upang ang:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

Ang bawat isa sa mga trig integral na ito ay hinahawakan ng simpleng panuntunan na #int cos (palakol) dx = 1 / isang kasalanan (palakol) #.

Kaya, # = 1/8 3x + 2 kasalanan (2x) + 1/4 kasalanan (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + kasalanan (4x) #