Ano ang square root ng 5?

Ang square root ng #5# hindi mapapasimple ang ama kaysa ngayon, kaya narito # sqrt5 # sa sampung decimal na lugar:

# sqrt5 ~~ 2.2360679775 … #

Sagot:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) ~~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # ay isang hindi makatwirang numero.

Paliwanag:

Ang lahat ng mga positibong numero ay karaniwang may dalawang square root, positibo at negatibo sa parehong laki. Tinutukoy namin ang positibong (a.k.a. principal) square root ng # n # sa pamamagitan ng #sqrt (n) #.

Isang parisukat na ugat ng isang numero # n # ay isang numero # x # tulad na # x ^ 2 = n #. Kaya kung # x ^ 2 = n # pagkatapos din # (- x) ^ 2 = n #.

Gayunpaman, ang popular na paggamit ay ang "square root" ay tumutukoy sa positibong isa.

Ipagpalagay na mayroon tayong positibong numero # x # na natutugunan:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Pagkatapos ay multiply sa magkabilang panig # (2 + x) # makakakuha tayo ng:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Pagkatapos ay pagbabawas # 2x # mula sa magkabilang panig makuha namin ang:

# x ^ 2 = 5 #

Kaya natagpuan namin:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (white) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) #

Siningang patuloy na bahagi na ito ay hindi nagwawakas, maaari naming sabihin na #sqrt (5) # ay hindi maaaring katawanin bilang isang terminating fraction - i.e. isang rational number. Kaya #sqrt (5) # ay isang hindi makatwiran bilang isang maliit na mas maliit kaysa sa #2 1/4 = 9/4#. Para sa mas mahusay na makatwirang pagtatantya maaari mong wakasan ang patuloy na bahagi pagkatapos ng higit pang mga termino.

Halimbawa:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

Ang pag-unpack sa mga patuloy na fractions ay maaaring maging isang maliit na nakakapagod, kaya ako sa pangkalahatan ay ginusto na gumamit ng ibang paraan, lalo na ang limitasyon ratio ng isang integer sequence na tinukoy recursively.

Tukuyin ang isang pagkakasunud-sunod sa pamamagitan ng:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

Ang ilang mga unang termino ay:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

Ang ratio sa pagitan ng mga termino ay may posibilidad na # 2 + sqrt (5) #.

Kaya nakikita natin:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #