Hayaan f: Tumataas na tinukoy mula R hanggang R. hanapin ang solusyon ng f (x) = f ^ -1 (x)?

Sagot:

# f (x) = x #

Paliwanag:

Naghahangad kami ng isang function #f: RR rarr RR # tulad ng solusyon na iyon #f (x) = f ^ (- 1) (x) #

Iyon ay humingi tayo ng isang function na sarili nitong kabaligtaran. Ang isang halata tulad ng pag-andar ay ang maliit na solusyon:

# f (x) = x #

Gayunpaman, ang isang mas masusing pag-aaral ng problema ay isang makabuluhang pagiging kumplikado gaya ng na-ginalunsad ni Ng Wee Leng at Ho Foo Kanya bilang inilathala sa Journal of the Association of Teachers of Mathematics.

www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf

Sagot:

Suriin sa ibaba.

Paliwanag:

Ang mga punto na karaniwan sa pagitan # C_f # at #C_ (f ^ (- 1)) # kung umiiral sila hindi palaging nasa bisector # y = x #. Narito ang isang halimbawa ng naturang function: #f (x) = 1-x ^ 2 # #color (puti) (a) #, # x ##sa## 0, oo oo) #

graph {((y- (1-x ^ 2)) sqrtx) = 0 -7.02, 7.03, -5.026, 1.994}

Gayunpaman, sila ay nasa bisector lamang at tanging kung # f # ay # # pagtaas.

Kung # f # ay mahigpit na pagtaas noon #f (x) = f ^ (- 1) (x) # #<=># #f (x) = x #

Kung # f # ay hindi mahigpit na pagtaas ng mga karaniwang punto ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation

# {(y = f (x) ""), (x = f ^ (- 1) (y) ""):} # #<=># # {(y = f (x) ""), (x = f (y) ""):} # #<=>…#

Sagot:

#f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> x = 1 #

Paliwanag:

#f (x) = x ^ 3 + x-1 # #color (white) (aa) #, # x ##sa## RR #

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1> 0 # #color (white) (aa) #, # AA ## x ##sa## RR #

kaya nga # f # ay # # sa # RR #. Bilang isang mahigpit na monotone function na ito ay din "#1-1#"at bilang isang isa sa isang function na ito ay isang kabaligtaran.

Kailangan nating lutasin ang equation #f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> ^ (f) f (x) = x # #<=>#

# x ^ 3 + x-1 = x # #<=># # x ^ 3-1 = 0 # #<=>#

# (x-1) (x ^ 2 + x + 1) = 0 # # <=> ^ (x ^ 2 + x + 1> 0) #

# x = 1 #