Ano ang pinakamaliit na halaga ng g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? sa agwat [-2,2]?

Sagot:

Ang minimum na halaga ay nasa # x = 1-sqrt 5 approx "-" 1.236 #;

#g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) approx "-" 0.405 #.

Paliwanag:

Sa saradong pagitan, ang mga posibleng lokasyon para sa isang minimum ay magiging:

• isang lokal na minimum sa loob ng agwat, o
• ang mga endpoint ng agwat.

Samakatuwid namin kalkulahin at ihambing ang mga halaga para sa #g (x) # sa anumang #x sa "-2", 2 # na gumagawa #g '(x) = 0 #, pati na rin sa #x = "- 2" # at # x = 2 #.

Una: ano #g '(x) #? Gamit ang tuntunin ng quotient, makakakuha tayo ng:

#g '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (white) (g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (white) (g '(x)) = - (x ^ 2-2x-4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Ito ay magiging katumbas ng zero kapag ang numerator ay zero. Sa pamamagitan ng parisukat formula, makuha namin

# x ^ 2-2x-4 = 0 "" => "" x = 1 + -sqrt 5 approx {"-1.236", 3.236} #

Isa lamang sa mga ito # x #-mga halaga ay nasa #'-2',2#, at iyon ay # x = 1-sqrt 5 #.

Ngayon, tinatayang namin:

1. #g ("- 2") = ("-" 2-1) / (("- 2") ^ 2 + 4) = "- 3" / 8 = "-" 0.375 #

2. #g (1 - sqrt 5) = (1 - sqrt 5-1) / ((1 - sqrt 5) ^ 2 + 4) = ("sqrt 5" / (1-2 sqrt 5 + 5 + 4) #

#color (white) (g (1 - sqrt 5)) = - (sqrt 5) / (10-2sqrt 5) = - (sqrt 5) / ((2) (5-sqrt5) (5 + sqrt 5) / (5+ sqrt 5)) #

#color (white) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 + 5 sqrt 5) / (2 * (25-5) #

#color (white) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 (1 + sqrt5)) / (40) = - (1 + sqrt 5) / (8) approx "-" 0.405 #

3. #g (2) = (2-1) / (2 ^ 2 + 4) = 1/8 = 0.125 #

Paghahambing ng mga tatlong halaga na ito #g (x) #, nakikita natin iyan #g (1-sqrt 5) # ay ang pinakamaliit. Kaya # - (1+ sqrt 5) / 8 # ang aming pinakamababang halaga para sa #g (x) # sa #'-'2, 2#.