Paano mo ginagamit ang binomial serye upang mapalawak ang sqrt (z ^ 2-1)?

Sagot:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

Paliwanag:

Gusto ko ng isang double check dahil bilang isang mag-aaral ng pisika ay bihira akong lumampas # (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx # para sa maliit na x kaya ako medyo kalawangin. Ang binomial na serye ay isang espesyal na kaso ng binomial teorama na nagsasaad na

# (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k #

Sa # ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k + 1)) / (k!) #

Ang mayroon tayo ay # (z ^ 2-1) ^ (1/2) #, hindi ito ang tamang form. Upang maitama ito, isipin iyon # i ^ 2 = -1 # kaya mayroon tayo:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

Ito ay nasa tamang form na ngayon #x = -z ^ 2 #

Samakatuwid, ang paglawak ay magiging:

#i 1 -1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #