Ano ang equation sa standard na form ng parabola na may isang focus sa (42, -31) at isang directrix ng y = 2?

Sagot:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # karaniwang form

Paliwanag:

Mangyaring obserbahan na ang directrix ay isang pahalang na linya

#y = 2 #

Samakatuwid, ang parabola ay ang uri na nagbubukas pataas o pababa; ang vertex form ng equation para sa ganitong uri ay:

#y = 1 / (4f) (x-h) ^ 2 + k "1" #

Saan # (h, k) # ay ang kaitaasan at # f # ay ang naka-sign vertical distansya mula sa kaitaasan sa pokus.

Ang x coordinate ng vertex ay kapareho ng x coordinate ng focus:

#h = 42 #

Kapalit #42# para sa # h # sa equation:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2 + k "2" #

Ang y coordinate ng vertex ay kalahati sa pagitan ng directrix at ang pokus:

#k = (y_ "directrix" + y_ "focus") / 2 #

#k = (2 + (- 31)) / 2 #

#k = -29 / 2 #

Kapalit #-29/2# para sa # k # sa equation:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2-29 / 2 "3" #

Ang equation upang mahanap ang halaga ng # f # ay:

#f = y_ "focus" -k #

#f = -31- (-29/2) #

#f = -33 / 2 #

Kapalit #-33/2# para sa # f # sa equation:

#y = 1 / (4 (-33/2)) (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Pasimplehin ang fraction:

#y = -1/66 (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Palawakin ang parisukat:

#y = -1/66 (x ^ 2 -84x + 1764) -29 / 2 #

Ipamahagi ang fraction:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 294 / 11-29 / 2 #

Pagsamahin ang mga termino:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # karaniwang form

Sagot:

# y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

Paliwanag:

Gagawin natin ito Problema gamit ang mga sumusunod Focus-Directrix

Ari-arian (FDP) ng Parabola.

FDP: Anumang punto sa a Parabola ay equidistant galing sa

Tumuon at ang Directrix.

Hayaan, ang punto # F = F (42, -31), "at, ang linya" d: y-2 = 0, # maging

ang Tumuon at ang Directrix ng Parabola, say S.

Hayaan, # P = P (x, y) sa S, # maging anuman Pangkalahatang Point.

Pagkatapos, gamit ang Formula ng Distansya, kami ay may, ang distansya,

# FP = sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} …………………………. (1). #

Alam na ang # bot- #dist. sa pagitan ng isang punto # (k, k), # at, isang linya:

# palakol + sa pamamagitan ng c = 0, # ay, # | ah + bk + c | / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2), # nalaman natin na, # "ang" bot- "dist. btwn" P (x, y), &, d "ay," | y-2 | ………….. (2). #

Sa pamamagitan ng FDP, # (1), at (2), # meron kami, # sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} = | y-2 |, o, #

# (x-42) ^ 2 = (y-2) ^ 2- (y + 31) ^ 2 = -66y-957, i.e., #

# x ^ 2-84x + 1764 = -66y-957. #

#:. 66y = -x ^ 2 + 84x-2721, # kung saan, sa Standard Form, nagbabasa, # y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

bilang Nasagot si Douglas K. Sir ay nagmula na!

Tangkilikin ang Matematika.!