Paano ko malulutas ang 2sinx = cos (x / 3)?

Sagot:

Ang aming mga tinatayang solusyon ay:

# x = {163.058 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, o -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad #

para sa integer # k #.

Paliwanag:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

Ito ay isang magandang matigas.

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagtatakda # y = x / 3 # kaya nga # x = 3y # at pagpapalit. Pagkatapos ay maaari naming gamitin ang triple angle formula:

# 2 sin (3y) = cos y #

# 2 (3 sin y - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

Let's square kaya isinulat namin ang lahat sa mga tuntunin ng # sin ^ 2 y #. Malamang na ito ay magpapakilala ng mga ugat na hindi pa natatagalan

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

Hayaan # s = sin ^ 2 y #. Ang mga squared sine ay tinatawag na kumakalat sa Rational Trigonometry.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

Iyon ay isang kubiko equation na may tatlong real Roots, kandidato para sa squared sines ng # 3x. # Maaari naming gamitin ang kubiko formula, ngunit na lamang humantong sa ilang mga cube Roots ng kumplikadong mga numero na hindi partikular na kapaki-pakinabang. Kumuha lang tayo ng numerical na solusyon:

# s 0.66035 o s 0.029196 o s 0.81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

Magtrabaho tayo sa grado. Ang aming mga potensyal na tinatayang solusyon ay:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) approx pm 163.058 ^ circ o pm 703.058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) approx pm 29.5149 ^ circ o pm 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) approx pm 192.573 ^ circ o pm 732.573 ^ circ #

Tingnan natin kung alin sa mga gawaing iyon. Hayaan #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ circ) tantiya 0.00001 quad # iyon ang solusyon.

#e (-163.058 ^ circ) approx -1.17 quad # hindi isang solusyon.

Malinaw sa karamihan ng isang # pm # Magtatrabaho ang pares.

Sampung higit pa upang pumunta.

#e (703.058 ^ circ) tantiya 0.00001 quad sqrt #

#e (-703.058 ^ circ) quad # nope

#e (29.5149 ^ circ) approx 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29.5149 ^ circ) quad # nope

#e (569.51 ^ circ) approx 10 ^ {- 4} quad sqrt #

#e (-569.51 ^ circ) quad # nope

#e (192.573 ^ circ) approx -.87 quad # nope

#e (-192.573 ^ circ) tantiya 0.00001 quad sqrt #

#e (732.573 ^ circ) approx -.87 quad # nope

#e (-732.573 ^ circ) tantiya 0.00001 quad sqrt #

Ang arcsin ay may a # + 360 ^ circ k #, at ang kadahilanan ng tatlong ay gumagawa nito # 1080 ^ circ k. #

OK, ang aming mga tinatayang solusyon ay:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad # para sa integer # k #.

Ipakita na cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Ako ay medyo nalilito kung gumawa ako Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), ito ay magiging negatibo bilang cos (180 ° -theta) = - costheta sa ang pangalawang kuwadrante. Paano ko mapapatunayan ang tanong?

Mangyaring tingnan sa ibaba. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) 10) + cos ^ 2 (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Ang tubig ay pumupuno sa batya sa 12mins, at binubuhos ang batya sa loob ng 20 min kapag ang takip ay bukas. Gaano katagal aabutin upang punan ang isang walang laman na tubo kung ang takip ay bukas? Sagot: 30min. Paano ko malulutas ito?

Ipagpalagay na ang buong lakas ng tubo ay X kaya, sa panahon ng pagpuno ng batya, sa 12 min na volume na napunan ay X kaya, sa volume na puno ng tmin ay (Xt) / 12 Para sa pagtanggal ng basura, sa 20 min na dami ng emptied ay X sa Ang dami ng dami ng emptied ay (Xt) / 20 Ngayon, kung isinasaalang-alang namin na sa t min ang tub ay dapat mapunan, nangangahulugan ito, ang voulme na puno ng gripo ay dapat na X halaga na mas malaki kaysa sa dami ng emptied ng lead, tulad na ang batya ay puno dahil sa mas mataas na bilis ng pagpuno at sobrang tubig ay mawawalan ng takip. kaya, (Xt) / 12 - (Xt) / 20 = X o, t / 12 -t / 20 = 1 kaya

Ang tubig ay bumubuhos sa isang baluktot na korteng kono na may rate na 10,000 cm3 / min at sa parehong oras ay pinapatay ang tubig sa tangke sa isang pare-pareho ang rate Kung ang tangke ay may taas na 6m at ang diameter sa itaas ay 4 m at kung ang antas ng tubig ay tumataas sa isang rate ng 20 cm / min kapag ang taas ng tubig ay 2m, paano mo makita ang rate kung saan ang tubig ay pumped sa tangke?

Hayaan ang V ay ang dami ng tubig sa tangke, sa cm ^ 3; h maging ang lalim / taas ng tubig, sa cm; at hayaan ang radius ng ibabaw ng tubig (sa itaas), sa cm. Dahil ang tangke ay isang inverted kono, kaya ang masa ng tubig. Dahil ang tangke ay may taas na 6 m at isang radius sa tuktok ng 2 m, ang mga katulad na triangles ay nagpapahiwatig na ang frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 upang ang h = 3r. Ang dami ng inverted kono ng tubig ay pagkatapos V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Ngayon, iba-iba ang magkabilang panig tungkol sa oras t (sa ilang minuto) upang makakuha ng frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt