Para sa kung anong mga halaga ng x ay f (x) = x-x ^ 2e ^ -x malukong o matambok?

Sagot:

Hanapin ang ikalawang nanggaling at suriin ang sign nito. Ito ay matambok kung positibo at malukong kung negatibo ito.

Malungkot para sa:

#x sa (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Convex para sa:

#x sa (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), oo) #

Paliwanag:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

Unang hinangong:

#f '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

Dalhin # e ^ -x # bilang isang karaniwang kadahilanan upang gawing simple ang susunod na hinangong:

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Ikalawang derivative:

#f '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) #

#f '' (x) = e ^ -x * (2x-2-x ^ 2 + 2x) #

#f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Ngayon dapat nating pag-aralan ang tanda. Maaari naming ilipat ang sign para sa madaling paglutas ng parisukat:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

Upang gawing isang parisukat ang isang produkto:

#x_ (1,2) = (- b + -sqrt (Δ)) / (2 * a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2)

Samakatuwid:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x- (2-sqrt (2))) * (x- (2 + sqrt (2))) #

• Isang halaga ng # x # sa pagitan ng dalawang solusyon na ito ay nagbibigay ng negatibong pariralang tanda, habang ang iba pang halaga ng # x # ginagawang positibo.
• Anumang halaga ng # x # Ginagawa # e ^ -x # positibo.
• Ang negatibong pag-sign sa simula ng function ay binabaligtad ang lahat ng mga palatandaan.

Samakatuwid, #f '' (x) # ay:

Positibo, samakatuwid ay malukong para sa:

#x sa (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Negatibo, samakatuwid ay lumubog sa:

#x sa (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), oo) #