Sa kung anu-anong mga agwat ang sumusunod na equation ay malukong, malukong at kung saan ito ang punto sa pagbabago ng tono ay (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

Sagot:

• kung # 0 <x <e ^ (- 15/56) # pagkatapos # f # ay malukong pababa;
• kung #x> e ^ (- 15/56) # pagkatapos # f # ay malukong up;
• # x = e ^ (- 15/56) # ay isang (pagbagsak) punto sa pagbabago ng tono

Paliwanag:

Upang pag-aralan ang mga punto ng pag-uumpong at pagbabago ng tono ng dalawang beses na iba't ibang function # f #, maaari naming pag-aralan ang positivity ng ikalawang nanggaling. Sa katunayan, kung # x_0 # ay isang punto sa domain ng # f #, pagkatapos ay:

• kung #f '' (x_0)> 0 #, pagkatapos # f # ay malukong up sa isang lugar ng # x_0 #;
• kung #f '' (x_0) <0 #, pagkatapos # f # ay malukong pababa sa isang lugar ng # x_0 #;
• kung #f '' (x_0) = 0 # at ang tanda ng #f '' # sa isang sapat na maliit na karapatan-kapitbahayan ng # x_0 # ay kabaligtaran sa tanda ng #f '' # sa isang sapat na maliit na kaliwang-kapitbahayan ng # x_0 #, pagkatapos # x = x_0 # ay tinatawag na isang talampakan point ng # f #.

Sa partikular na kaso ng #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, kami ay may isang function na ang domain ay dapat na limitado sa positibong reals #RR ^ + #.

Ang unang hinalaw ay

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

Ang ikalawang nanggaling ay

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln (x) +15 #

Pag-aralan natin ang positivity ng #f '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

Kaya, isinasaalang-alang na ang domain ay #RR ^ + #, nakukuha natin iyon

• kung # 0 <x <e ^ (- 15/56) # pagkatapos #f '' (x) <0 # at # f # ay malukong pababa;
• kung #x> e ^ (- 15/56) # pagkatapos #f '' (x)> 0 # at # f # ay malukong up;
• kung # x = e ^ (- 15/56) # pagkatapos #f '' (x) = 0 #. Isinasaalang-alang na sa kaliwa ng puntong ito #f '' # ay negatibo at sa kanan ito ay positibo, tapusin namin na # x = e ^ (- 15/56) # ay isang (pagbagsak) punto sa pagbabago ng tono