Paano mapalawak sa serye ng Maclaurin ito? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / tdt

Sagot:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n +1) ^ 2 #

Visual: Tingnan ang graph na ito

Paliwanag:

Kami ay malinaw na hindi maaaring suriin ang integral na ito bilang ito ay gumagamit ng alinman sa mga regular na mga diskarte sa pagsasama na natutunan namin. Gayunpaman, dahil ito ay isang tiyak na mahalagang bahagi, maaari naming gamitin ang serye ng MacLaurin at gawin ang tinatawag na termino sa pamamagitan ng term integration.

Kailangan nating hanapin ang serye ng MacLaurin. Dahil hindi namin nais na makita ang nth na derivative ng function na, kakailanganin naming subukan at magkasya ito sa isa sa serye ng MacLaurin na alam na namin.

Una, hindi namin gusto # mag-log #; gusto naming gawin iyon # ln #. Upang gawin ito, maaari lamang nating gamitin ang pagbabago ng batayang pormula:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Kaya mayroon tayo:

# int_0 ^ xln (1-t) / (tln (10)) dt #

Bakit natin ginagawa ito? Well, pansinin na ngayon # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Bakit espesyal na ito? Buweno, # 1 / (1-x) # ay isa sa aming karaniwang ginagamit na serye ng MacLaurin:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…para sa lahat # x # sa #(-1, 1#

Kaya, maaari naming gamitin ang relasyon na ito sa aming kalamangan, at palitan #ln (1-t) # may # int-1 / (1-t) dt #, na nagpapahintulot sa amin na palitan iyon # ln # term na may serye ng MacLaurin. Ang pagbuo ng sama-sama ay nagbibigay ng:

#ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t ^ t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n

Pag-evaluate ng mahalaga:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

Kinakansela ang # t # term sa denamineytor:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

At ngayon, ginagawa namin ang tiyak na integral na sinimulan namin ang problema sa:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

Tandaan: Obserbahan kung paano namin ngayon hindi kailangang mag-alala tungkol sa paghahati ng zero sa problemang ito, na isang isyu na mayroon kami sa orihinal na integrand dahil sa # t # term sa denamineytor. Dahil ito ay kinansela sa nakaraang hakbang, nagpapakita ito na ang pagpalya ay maaaring tanggalin, na gumagana nang maayos para sa amin.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # sinusuri mula sa #0# sa # x #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Tiyaking natanto mo na ang serye na ito ay mabuti lamang sa pagitan #(1, 1#, dahil ang serye ng MacLaurin na ginamit namin sa itaas ay nagtatagpo lamang sa agwat na ito. Tingnan ang graph na ito na ginawa ko upang makakuha ng isang mas mahusay na ideya kung ano ang hitsura nito.

Hope na tumulong:)