Paano isama ang int e ^ x sinx cosx dx?

Sagot:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Paliwanag:

Una naming magagamit ang pagkakakilanlan:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

na nagbibigay sa:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

Ngayon ay maaari naming gamitin ang pagsasama ng mga bahagi. Ang formula ay:

# x f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x)

Hahayaan ko #f (x) = sin (2x) # at #g '(x) = e ^ x / 2 #. Ang paglalapat ng formula, makakakuha tayo ng:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Ngayon maaari naming ilapat ang pagsasama-sama ng mga bahagi minsan pa, sa pagkakataong ito #f (x) = cos (2x) # at #g '(x) = e ^ x #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2 (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) #

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int sin (2x) e ^ x dx #

Ngayon kami ay may mahalagang bahagi sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay, upang maaari naming malutas ito tulad ng isang equation. Una, nagdaragdag kami ng 2 beses na mahalaga sa magkabilang panig:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Dahil gusto namin ng isang kalahati bilang ang koepisyent sa orihinal na kabuuan, hinati namin ang magkabilang panig #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C =

# = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Sagot:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Paliwanag:

Hinahanap namin ang:

# I = int e ^ x sinxcosx dx #

Aling gamit ang pagkakakilanlan:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Maaari naming isulat bilang:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x dx #

# I = 1/2 I_S #

Kung saan para sa kaginhawahan namin magpakilala:

# I_S = int e ^ x sin2x dx #, at # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Ngayon, ginagawa namin ang pagsasama-sama ng mga bahagi minsan pa.

Hayaan # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

Pagkatapos ay i-plug sa formula ng IBP na nakukuha namin:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B}

Ngayon, mayroon kaming dalawang sabay-sabay na equation sa dalawang unknowns # I_S #. at # I_C #, kaya pagpapalit B sa A mayroon kami:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# = -1 / 2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Nangunguna sa:

# I = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #