Paano patunayan na ang serye ay magkasalubong?

Sagot:

Converges sa pamamagitan ng Direct Paghahambing Test.

Paliwanag:

Maaari naming gamitin ang Direct Paghahambing Test, hangga't mayroon kami

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, nagsisimula ang serye sa isa.

Upang gamitin ang Direct Paghahambing Test, kailangan naming patunayan iyon # a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # ay positibo sa # 1, oo) #.

Una, tandaan na sa agwat # 1, oo), cos (1 / k) # ay positibo. Para sa mga halaga ng #x # cosx # ay nasa unang kuwadrante (at samakatuwid positibo). Well, for #k> = 1, 1 / k kaya, #cos (1 / k) # ay positibo nga.

Higit pa rito, maaari nating sabihin #cos (1 / k) <= 1 #, bilang #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

Pagkatapos, maaari naming tukuyin ang isang bagong pagkakasunud-sunod

# b_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # para sa lahat # k. #

Buweno, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

Alam namin na ito ay nakakatugon sa pamamagitan ng # p- #serye ng pagsubok, ito ay nasa anyo # sum1 / k ^ p # kung saan # p = 2> 1 #.

Pagkatapos, dahil ang mas malalaking serye ay nagtatagpo, kaya dapat ang mas maliit na serye.

Sagot:

Nagtatagpo ito ng direktang paghahambing sa pagsubok (tingnan sa ibaba para sa mga detalye).

Paliwanag:

Kilalanin na ang saklaw ng cosine ay -1,1. Tingnan ang graph ng #cos (1 / x) #:

graph {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Tulad ng makikita mo, ang pinakamataas ang halaga na ito ay makamit ay 1. Dahil lamang namin sinusubukan upang patunayan tagpo dito, let's set ang numerator sa 1, Aalis:

# sum1 / (9k ^ 2) #

Ngayon, ito ay naging isang napaka-simpleng direktang problema sa paghahambing ng pagsubok. Alalahanin kung ano ang ginagawa ng direct comparison test:

Isaalang-alang ang isang arbitrary na serye # a_n # (hindi namin alam kung ito ay converges / diverges), at isang serye kung saan alam namin ang tagpo / divergence, # b_n #:

Kung #b_n> a_n # at # b_n # Nakikipagtulungan, pagkatapos # a_n # Nagtatagpo din.

Kung #b_n <a_n # at # b_n # diverges, pagkatapos # a_n # diverges din.

Maaari naming ihambing ang function na ito sa #b_n = 1 / k ^ 2 #. Maaari naming gawin ito dahil alam namin ito converges (dahil sa p-test).

Kaya, dahil # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, at # 1 / k ^ 2 # Nagtatagpo, maaari nating sabihin na ang serye converges

Ngunit, maghintay, pinatunayan lamang namin na ang serye na ito ay nagtatagpo kapag ang numerator = 1. Ano ang tungkol sa lahat ng iba pang mga halaga #cos (1 / k) # ay maaaring kumuha ng? Well, tandaan na ang 1 ay ang pinakamataas halaga na maaaring gawin ng numerator. Kaya, dahil napatunayan namin na ang mga ito ay nagtatagpo, hindi namin tuwirang napatunayan na ang serye na ito ay nagtatagpo para sa anumang halaga sa numerator.

Hope na tumulong:)