Paano mo mahanap ang int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx gamit ang mga bahagyang fractions?

Sagot:

Sinisikap mong hatiin ang makatwirang pag-andar sa isang kabuuan na magiging madali upang maisama.

Paliwanag:

Una sa lahat: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x +1) #.

Binibigyang-daan ka ng bahagyang bahagi ng agnas na gawin mo iyon:

# (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = (x + 1) / (x (x-1) (x + 1) / x + b / (x-1) # may # a, b sa RR # na kailangan mong hanapin.

Upang mahanap ang mga ito, kailangan mong i-multiply ang magkabilang panig ng isa sa mga polynomial sa kaliwa ng pagkakapantay-pantay. Nagpapakita ako ng isang halimbawa sa iyo, ang iba pang koepisyent ay matatagpuan sa parehong paraan.

Namin gonna mahanap # a #: kailangan nating palaguin ang lahat ng bagay # x # upang mawala ang iba pang koepisyent.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) iff 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1).

#x = 0 iff -1 = a #

Ginagawa mo ang parehong bagay upang makahanap # b # (multiply mo ang lahat ng bagay # (x-1) # pagkatapos ay pipiliin mo #x = 1 #), at nalaman mo na #b = 1 #.

Kaya # (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #, na nagpapahiwatig na (x / 1)) dx = int (1 / (x-1) - 1 / x) dx = intdx / (x-1) - intdx / x = lnabs (x-1) - lnabsx #