Ano ang int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx?

Sagot:

#= 1/4#

Paliwanag:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1 / 4ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4 #

Sagot:

#1/4#

Paliwanag:

Magagawa ito sa maraming paraan, narito ang dalawa sa kanila. Ang una ay gumamit ng pagpapalit:

#color (pula) ("Paraan 1") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

Hayaan #u = ln (x) nagpapahiwatig du = (dx) / x #

Pagbabago ng mga limitasyon:

#u = ln (x) ay nagpapahiwatig u: 0 rarr 1 #

Ang integral ay nagiging:

# 1 / 2int_0 ^ 1 u du = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

Ito ang mas simple na paraan, ngunit maaaring hindi ka laging makagagawa ng pagpapalit. Isang alternatibo ang pagsasama ng mga bahagi.

#color (pula) ("Paraan 2") #

Gamitin ang pagsasama ng mga bahagi:

Para sa mga function #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) ay nagpapahiwatig u '(x) = 1 / x #

#v '(x) = 1 / (2x) ay nagpapahiwatig ng v (x) = 1 / 2ln (x) #

#int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx #

Pagsasama tulad ng mga termino:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + C #

# xp int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

Kami ay nagtatrabaho sa isang tiyak na mahalaga bagaman, kaya nag-aaplay ng mga limitasyon at pag-alis ng pare-pareho:

(x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) _ 1 ^ e #

# = 1 / 4ln (e) ln (e) - 1 / 4ln (1) ln (1) #

#ln (e) = 1, ln (1) = 0 #

#implies int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #