Paano malutas ang 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

Sagot:

Maaari naming malutas ang tanong na ito nang graphically.

Paliwanag:

Ang ibinigay na equation # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # maaaring muling maisulat bilang

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Ngayon dalhin ang dalawang ito bilang hiwalay na mga pag-andar

#f (x) = 2e ^ (x) # at #g (x) = 7-2x # at balangkas ang kanilang mga graph; kanilang intersection point ang magiging solusyon sa ibinigay na equation # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Ito ay ipinapakita sa ibaba: -

Sagot:

Ang isang ito ay lampas sa algebra ng mataas na paaralan, at ang pinakamahusay na paraan upang malutas ito ay upang tanungin ang Wolfram Alpha na sumasagot #x approx.94 #.

Paliwanag:

Lutasin

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Ang mga tanong na tulad nito ay sa pangkalahatan ay mahirap, at ang sagot ay depende kung ikaw ay nasa Algebra sa mataas na paaralan o mas malalim sa matematika.

Para sa mataas na paaralan, ang pinakamahusay na diskarte ay upang subukan lamang ang ilang maliliit na numero at tingnan kung gumagana ang mga ito. (Ito ay gumagana para sa marami, maraming mga problema sa matematika sa mataas na paaralan, fyi.) Mayroong talagang isa lamang sa makatuwiran # x # na gumagawa # e ^ x # nakapangangatwiran, # x = 0 #, na hindi isang solusyon. Kaya ang paghula ay hindi gagana dito.

Kung ang isang approximation ay sapat na mabuti, maaari naming graph ito, o graph # 2e ^ x # at # 7-2x # at makita kung saan sila nakakatugon.

Anuman ang iyong antas, kapag nahaharap sa isang hard isa tulad nito, ito ay karaniwang isang mahusay na paglipat upang hilingin sa magagamit na dalubhasa, na kung saan ay Wolfram Alpha.

Nakita namin na binigyan kami ng Alpha ng isang tinatayang sagot, medyo malapit sa 1, at kahit na isang formula na gumagamit ng W (x), na Lambert Product Log, na karaniwang hindi bahagi ng matematika sa mataas na paaralan.

Walang sagot gamit ang mga regular na pag-andar at operasyon na alam namin sa Algebra sa mataas na paaralan. Totoo iyon sa totoo kapag nagdaragdag kami ng termino # x # sa isang exponent sa isang kung saan # x # Lumilitaw bilang isang linear o mas mataas na kapangyarihan.

Iyon ang dulo ng sagot para sa karamihan ng mga mag-aaral. Ngunit maaari tayong mas malalim. Ang produkto log ay isang kagiliw-giliw na function.Isaalang-alang ang equation

#k = xe ^ x #

Sa kanang bahagi ay isang pagtaas ng pag-andar ng # x #, kaya't tatawid ito # k # maaga o huli. Ang pagkuha ng log ay hindi talaga nakukuha sa amin kahit saan: #ln k = ln x + x #.

Kailangan namin ng isang bagay tulad ng isang log, ngunit hindi isa na ang kabaligtaran ng # e ^ x #. Kailangan itong maging kabaligtaran ng # xe ^ x #. Iyon ay tinatawag na Produkto Log o ang Lambert W function, na tinukoy bilang:

#k = xe ^ x # May tunay na solusyon #x = W (k) #.

Susuriin natin ang ating pansin sa mga reals. Masaya na subukan upang matuklasan # W '#s properties. Ang pangunahing isa na binigay namin ay

#W (xe ^ x) = x #

Let's let # x = ye ^ y # sa mga sumusunod na ito #W (x) = y #. Ngayon

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

Astig niyan. Paano kung

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)} #

Pagkuha ng mga log, # W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) quad # Ipinapalagay ang mga ipinapalagay na mga tala

Ngayon na nakikita mo kung ano ito tulad ng nagtatrabaho sa W, tingnan kung maaari mo itong gamitin upang malutas ang equation, o upang suriin ang solusyon Alpha

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #