Ano ang saklaw ng y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)?

Unang isaalang-alang natin ang domain:

Para sa kung ano ang mga halaga ng # x # ang tungkulin ay tinukoy?

Ang numerator # (1-x) ^ (1/2) # ay tinukoy lamang kung kailan # (1-x)> = 0 #. Pagdaragdag # x # sa magkabilang panig ng ganitong mahanap mo #x <= 1 #.

Kinakailangan din namin ang denamineytor na maging di-zero.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # ay zero kapag #x = -1 / 2 # At kailan #x = -1 #.

Kaya ang domain ng function ay

# {x sa RR: x <= 1 at x! = -1 at x! = -1/2} #

Tukuyin #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # sa domain na ito.

Isaalang-alang natin ang bawat tuloy-tuloy na agwat sa domain nang hiwalay:

Sa bawat kaso, hayaan #epsilon> 0 # maging isang maliit na positibong numero.

Kaso (a): #x <-1 #

Para sa mga malalaking negatibong halaga ng # x #, #f (x) # maliit at positibo.

Sa kabilang dulo ng agwat na ito, kung #x = -1 - epsilon # pagkatapos

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1)) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # bilang #epsilon -> 0 #

Kaya para sa #x <-1 # ang hanay ng #f (x) # ay # (0, oo) #

Kaso (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # bilang #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

Kaya para sa # -1 / 2 <x <= 1 # ang hanay ng #f (x) # ay # 0, oo oo) #

Kaso (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1)) #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # bilang #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # bilang #epsilon -> 0 #

Kaya ang mga kagiliw-giliw na tanong ay ang pinakamataas na halaga ng #f (x) # sa agwat na ito. Upang mahanap ang halaga ng # x # para sa kung saan ito ay nangyayari hitsura para sa derivative na maging zero.

# d / (dx) f (x) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3))) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

Ito ay zero kapag ang numerator ay zero, kaya gusto naming malutas:

# 1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)

Multiply sa pamamagitan ng # 2 (1-x) ^ (1/2) # upang makakuha ng:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

Yan ay:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

na may mga ugat # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

Ng mga ugat na ito, #x = (5-sqrt (194)) / 12 # ay bumaba sa pagitan ng nag-aalala.

Palitan ito pabalik sa #f (x) # upang mahanap ang maximum na #f (x) sa agwat na ito (tinatayang -10).

Ito ay tila kumplikado sa akin. Nakagawa ba ako ng anumang mga pagkakamali?

Sagot: Ang saklaw ng function ay # (- oo, -10.58) uu 0, oo) #

Para sa #x sa (-oo, -1) # #-># #y in (0, oo) #

Para sa #x sa (-1, -0.5) # #-># #y sa (-oo, -10.58) #

Para sa #x sa (-0.5, 1) # #-># #y sa 0, oo) #