Tanong # 92256

Sagot:

Tingnan ang paliwanag

Paliwanag:

Buwagin ito sa dalawang bahagi, una ang panloob na bahagi:

# e ^ x #

Ito ay positibo at tumataas para sa lahat ng mga tunay na numero at napupunta mula 0 hanggang # oo # bilang # x # napupunta mula sa # -oo # sa # oo #

Ang mayroon kami:

#arctan (u) #

May karapatan ang horizontal asymptote sa # y = pi / 2 #. Pagpunta mula sa # u = 0 rarr oo #, sa # u = 0 # ang function na ito ay positibo at pagtaas sa domain na ito, tumatagal ng isang halaga ng 0 sa # u = 0 #, isang halaga ng # pi / 4 # sa # u = 1 # at isang halaga ng # pi / 2 # sa # u = oo #.

Kaya nga ang mga puntong ito ay makukuha # x = -oo, 0, oo # ayon sa pagkakabanggit at nagtatapos sa isang graph na ganito ang hitsura nito:

graph {arctan (e ^ x) -10, 10, -1.5, 3}

Alin ang positibong bahagi ng # arctan # gumana sa buong real line na may kaliwa na halaga na umaabot sa isang pahalang asymptote sa # y = 0 #.

Sagot:

Tingnan ang paliwanag

Paliwanag:

Domain ay # RR #

Mahusay na proporsyon

Hindi rin may kinalaman sa # x # axis o w.r.t ang pinanggalingan.

#arctan (e ^ (- x)) # ay hindi pinasimple #arctan (e ^ x) #

o sa # -arctan (e ^ x) #

Intercepts

# x # intercepts: none

Hindi namin makuha #y = 0 # dahil kailangan iyon # e ^ x = 0 #

Ngunit # e ^ x # ay hindi kailanman #0#, ito lamang ang nalalapit #0# bilang # xrarr-oo #.

Kaya, # yrarr0 # bilang # xrarr-oo # at ang # x # axis os a horizontal

asymptote sa kaliwa.

# y # maharang: # pi / 4 #

Kailan # x = 0 #, makuha namin #y = arctan (1) = pi / 4 #

Asymptotes:

Vertical: none

# arctan # nasa pagitan # -pi / 2 # at # pi / 2 # sa pamamagitan ng kahulugan, kaya hindi kailanman napupunta sa # oo #

Pahalang:

Kaliwa: # y = 0 # tulad ng tinalakay sa itaas

Kanan: # y = pi / 2 #

Alam namin na, bilang # thetararrpi / 2 # may #theta <pi / 2 #, makuha namin #tantheta rarr oo #

upang # xrarroo #, makuha namin # e ^ x rarroo #, kaya # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

Unang hinangong

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # ay hindi kailanman #0# at hindi kailanman natukoy, kaya walang mga kritikal na numero.

Sa bawat # x # meron kami #y '> 0 # kaya ang pagtaas ng function # (- oo, oo) #

Walang lokal na extrema.

Ikalawang nanggaling

#y '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

#y '' # ay hindi kailanman natukoy, at ito ay #0# sa # x = 0 #

Mag-sign ng #y '' #:

Sa # (- oo, 0) #, makuha namin # e ^ (2x) <1 # kaya nga #y ''> 0 # at ang graph ay malukong

Sa # (0, oo) #, makuha namin # e ^ (2x)> 1 # kaya nga #y '' <0 # at ang graph ay malubay

Nagbabago ang concavity sa # x = 0 #, kaya ang punto sa pagbabago ng tono ay:

# (0, pi / 4) #

Ngayon gumuhit ng graph