Ang karaniwang ratio ng isang ggeometric na pag-unlad ay ang unang termino ng progreso ay (r ^ 2-3r + 2) at ang kabuuan ng infinity ay S Ipakita na S = 2-r (mayroon akong) Hanapin ang hanay ng mga posibleng halaga na S maaaring tumagal?

Sagot:

(R-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

Mula noon # | r | <1 # nakukuha namin # 1 <S <3 #

Paliwanag:

Meron kami

# S = sum_ {k = 0} ^ {infty} (r ^ 2-3r + 2) r ^ k #

Ang pangkalahatang kabuuan ng isang walang katapusang serye ng geometric ay

#sum_ {k = 0} ^ {infty} a r ^ k = a / {1-r} #

Sa kaso natin, (R-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

Ang geometric na serye ay nagtatagpo lamang kung kailan # | r | <1 #, kaya makuha namin

# 1 <S <3 #

Sagot:

#color (asul) (1 <S <3) #

Paliwanag:

# ar ^ (n-1) #

Saan # bbr # ay ang karaniwang ratio, # bba # ay ang unang termino at # bbn # ang nth term.

Kami ay sinasabing karaniwang ratio ay # r #

Ang unang termino ay # (r ^ 2-3r + 2) #

Ang kabuuan ng isang geometric na serye ay ibinigay bilang:

#a ((1-r ^ n) / (1-r)) #

Para sa kabuuan sa kawalang-hanggan na pinapasimple ito sa:

# a / (1-r) #

Sinabi sa amin ang halagang ito ay S.

Pagpapalit sa aming mga halaga para sa a at r:

# (r ^ 2-3r + 2) / (1-r) = S #

Factor ang numerator:

# ((r-1) (r-2)) / (1-r) = S #

Multiply numerator at denominator sa pamamagitan ng #-1#

# ((r-1) (2-r)) / (r-1) = S #

Pagkansela:

# (kanselahin ((r-1)) (2-r)) / (kanselahin ((1-r))) = S #

# S = 2-r #

Upang mahanap ang mga posibleng halaga na natatandaan namin na ang isang geometriko serye ay may kabuuan lamang sa infinity kung # -1 <r <1 #

# 2-1 <2 -r <1 + 2 #

# 1 <2-r <3 #

i.e.

# 1 <S <3 #