Ang Circle A ay may sentro sa (6, 5) at isang lugar na 6 pi. Ang Circle B ay may isang sentro sa (12, 7) at isang lugar na 48 pi. Ang mga lupon ba ay nagsasapawan?

Sagot:

Mula noon

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # at

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

maaari naming gumawa ng isang tunay na tatsulok na may mga parisukat na panlikod 48, 6 at 40, kaya ang mga bilog ay bumalandra.

Paliwanag:

Bakit ang walang bayad # pi #?

Ang lugar ay #A = pi r ^ 2 # kaya nga # r ^ 2 = A / pi. # Kaya ang unang bilog ay may radius # r_1 = sqrt {6} # at ang pangalawa # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Ang mga sentro ay #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # bukod.

Kaya ang mga lupon ay magkakapatong kung #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

Iyan na ang pangit na mapapatawad ka para sa pag-abot para sa calculator. Ngunit talagang hindi kinakailangan. Tumawid tayo at tingnan kung paano ito ginagawa gamit ang Rational Trigonometry. Doon lamang kami nag-aalala sa mga haba ng squared, na tinatawag na quadrances.

Sabihin nating gusto nating subukan kung tatlong pagsusulit # A, B, C # ang mga quadrances sa pagitan ng tatlong puntos ng collinear, i.e. #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # o #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # o #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. Isusulat namin ito bilang

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

Squaring, #C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

Squaring muli, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Lumalabas itong

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

ay isang discriminant para sa triangles. Ipinakita lamang namin kung #mathcal {A} = 0 # nangangahulugan ito na mayroon kami bumabagsak na tatsulok, nabuo mula sa tatlong puntos ng collinear. Kung #mathcal {A}> 0 # pagkatapos ay mayroon kaming isang tunay na tatsulok, ang bawat panig ay mas mababa kaysa sa kabuuan ng iba pang dalawa. Kung #mathcal {A} <0 # wala kaming mga panig na nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok, at kung minsan ay tinatawag namin itong isang haka tatsulok.

Bumalik tayo sa aming tanong na armado ng aming bagong tatsulok na discriminant #mathcal {A} #. Kung ang mga bilog ay magkakaugnay, maaari kaming gumawa ng isang tatsulok ng dalawang sentro at ng isang panulukan, kaya ang haba ng mga gilid # r_1 #, # r_2 #, at ang distansya sa pagitan ng mga sentro #(6,5)# at #(12,7)#. Meron kami

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # kaya mayroon tayong isang tunay na tatsulok, i.e nagsasapawan ng mga lupon.

Oh oo, para sa anumang tatsulok #mathcal {A} = 16 (text {area}) ^ 2. #

Tingnan: Alpha