Ano ang integral ng int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Sagot:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Paliwanag:

Ang aming malaking problema sa integral na ito ay ang ugat, kaya gusto naming mapupuksa ito. Maaari naming gawin ito sa pamamagitan ng pagpapasok ng isang pagpapalit # u = sqrt (2x-1) #. Ang derivative ay pagkatapos

# (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #

Kaya't hatiin natin (at tandaan, ang paghahati sa pamamagitan ng isang kabaligtaran ay kapareho ng pagpaparami sa pamamagitan lamang ng denamineytor) upang isama ang may paggalang sa # u #:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) cancel (sqrt (2x-1) = int x ^ 2-1 du #

Ngayon ang kailangan nating gawin ay ipahayag ang # x ^ 2 # sa mga tuntunin ng # u # (dahil hindi mo maisasama # x # may kinalaman sa # u #):

# u = sqrt (2x-1) #

# u ^ 2 = 2x-1 #

# u ^ 2 + 1 = 2x #

# (u ^ 2 + 1) / 2 = x #

# x ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

Maaari naming i-plug ito pabalik sa aming mahalaga upang makakuha ng:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1 du #

Ito ay maaaring masuri gamit ang reverse power rule:

# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

Resubstituting para sa # u = sqrt (2x-1) #, makakakuha tayo ng:

# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1)