Ano ang f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx kung f (pi / 6) = 1?

Sagot:

(x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2 (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Paliwanag:

Magsisimula tayo sa pamamagitan ng paghati sa integral sa tatlong:

#int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = #

# = int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx-cos (x) #

Tatawagan ko ang kaliwang integral na Integral 1 at ang tamang isa na Integral 2

Integral 1

Narito kailangan namin ang pagsasama ng mga bahagi at isang maliit na lansihin. Ang formula para sa pagsasama ng mga bahagi ay:

# x f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x)

Sa kasong ito, hahayaan ko #f (x) = e ^ x # at #g '(x) = cos (x) #. Makukuha natin iyon

#f '(x) = e ^ x # at #g (x) = sin (x) #.

Ginagawa nito ang ating integral:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

Ngayon maaari naming ilapat ang pagsasama-sama ng mga bahagi muli, ngunit oras na ito #g '(x) = kasalanan (x) #:

# x xx (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx)

# x xx (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) dx #

Ngayon ay maaari naming idagdag ang mahalaga sa magkabilang panig, na nagbibigay ng:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

# x xx (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C =

# = e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) + C #

Integral 2

Maaari muna nating gamitin ang pagkakakilanlan:

#tan (theta) = sin (theta) / cos (theta) #

Nagbibigay ito ng:

(x) dx = int sin ^ 3 (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3) dx #

Ngayon ay maaari naming gamitin ang pagkakakilanlan pythagorean:

# sin ^ 2 (theta) = 1-cos ^ 2 (theta) #

#int (sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) dx #

Ngayon maaari naming ipakilala ang isang u-pagpapalit sa # u = cos (x) #. Pagkatapos ay hinati natin ang hinati, # - sa (x) # upang isama ang may paggalang sa # u #:

# -int (kanselahin (sin (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (kanselahin (sin (x)) cos ^ 3 (x) 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x) C #

Pagkumpleto ng orihinal na integral

Ngayon na alam namin ang Integral 1 at Integral 2, maaari naming i-plug ang mga ito pabalik sa orihinal na integral at pasimplehin upang makuha ang pangwakas na sagot:

(x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + C #

Ngayon na alam namin ang antiderivative, maaari naming malutas para sa pare-pareho:

#f (pi / 6) = 1 #

# e ^ (pi / 6) / 2 (sin (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2sec ^ 2 (pi / 6) / 6) + C = 1 #

# 2/3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) e ^ (pi / 6) -ln (sqrt (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2 (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# C = 5/3 + sqrt3 / 2 (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Nagbibigay ito na ang aming function ay:

(x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2 (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #