Paki tulungan ako sa ganito, kung paano ito gawin?

Sagot:

#k = 3 #

Paliwanag:

Gamit ang mga katangian ng mga exponents na # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # at # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, meron kami

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

Kaya naman #13!# ay mahahati sa pamamagitan ng # 24 ^ k # kung at tanging kung #13!# ay mahahati sa pamamagitan ng # 2 ^ (3k) # at nahahati sa pamamagitan ng # 3 ^ k #.

Maaari naming sabihin ang pinakamalaking kapangyarihan ng #2# kung saan #13!# ay mahahati sa kung titingnan natin ang mga salik nito na nahahati sa pamamagitan ng #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Tulad ng wala sa mga kakaibang mga salik ay tumutulong sa anumang mga kadahilanan ng #2#, meron kami

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

kung saan # m # Ang ilang mga integer na hindi mahahati ng #2#. Kung gayon, alam natin iyan #13!# ay mahahati sa pamamagitan ng # 2 ^ (3k) # kung at tanging kung #2^10# ay mahahati sa pamamagitan ng # 2 ^ (3k) #, ibig sabihin # 3k <= 10 #. Bilang # k # ay isang integer, ang ibig sabihin nito #k <= 3 #.

Susunod, maaari naming tingnan kung aling mga kadahilanan ng #13!# ay mahahati sa pamamagitan ng #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Bilang walang iba pang mga kadahilanan ng #13!# mag-ambag ng anumang mga kadahilanan ng #3#, ibig sabihin nito

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

kung saan # n # Ang ilang mga integer na hindi mahahati ng #3#. Kung gayon, alam natin iyan #3^5# ay mahahati sa pamamagitan ng # 3 ^ k #, ibig sabihin #k <= 5 #.

Ang pinakamalaking nonnegative integer na nagbibigay-kasiyahan sa mga limitasyon #k <= 3 # at #k <= 5 # ay #3#, na nagbibigay sa amin ng aming sagot # k = 3 #.

Ang isang calculator ay papatunayan na #(13!)/24^3 = 450450#, samantalang #(13!)/24^4=18768.75#