Ano ang equation ng linya na normal sa polar curve f (theta) = - 5theta- sin ((3theta) / 2-pi / 3) + tan ((theta) / 2-pi / 3) sa theta = pi?

Sagot:

Ang linya ay #y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

Paliwanag:

Ang behemoth na ito ng isang equation ay nagmula sa isang medyo napakahabang proseso. Susuriin ko muna ang mga hakbang kung saan magpapatuloy ang derivasyon at pagkatapos ay isagawa ang mga hakbang na iyon.

Kami ay binibigyan ng isang function sa polar coordinates, #f (theta) #. Maaari naming kunin ang hinango, #f '(theta) #, ngunit upang makahanap ng isang linya sa cartesian coordinates, kakailanganin namin # dy / dx #.

Maaari naming mahanap ang # dy / dx # sa pamamagitan ng paggamit ng mga sumusunod na equation:

Ang dati / thex / (f '(theta) cos (theta)) f (theta) cos (theta)

Pagkatapos ay i-plug namin ang slope na iyon sa standard cartesian line form:

#y = mx + b #

At ipasok ang mga cartesian convert polar coordinates ng aming punto ng interes:

#x = f (theta) cos (theta) #

#y = f (theta) sin (theta) #

Ang ilang mga bagay na dapat na agad na halata at i-save sa amin ng oras sa linya. Kami ay kumukuha ng isang line tangent sa punto #theta = pi #. Nangangahulugan ito na #sin (theta) = 0 # kaya …

1) Ang aming equation para sa # dy / dx # ay magiging:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

2) Ang aming mga equation para sa mga kartesian coordinate ng aming punto ay magiging:

#x = -f (theta) #

#y = 0 #

Simula sa aktwal na malutas ang problema, pagkatapos, ang aming unang order ng negosyo ay paghahanap #f '(theta) #. Ito ay hindi mahirap, tatlong simpleng derivatives na may tuntunin ng kadena na inilapat sa dalawa:

#f '(theta) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 seg ^ 2 (theta / 2 - pi / 3) #

Ngayon gusto naming malaman #f (pi) #:

#f (pi) = -5pi - kasalanan ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #

# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #

At #f '(pi) #…

#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 seg ^ 2 (pi / 6) #

# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #

# = (9sqrt3 - 52) / 12 #

Gamit ang mga ito sa kamay, kami ay handa na upang matukoy ang aming slope:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #

# = (6 (1-10p) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #

Maaari naming plug ito sa bilang # m # sa #y = mx + b #. Alalahanin na dati naming tinutukoy iyon # y = 0 # at #x = -f (theta) #:

# 0 = - ((6 (1-10p) + 4sqrt3) / (9sqrt3-52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)

# 0 = - ((3 (1-10p) +2sqrt3) / (9sqrt3-52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3)

# 0 = - ((sqrt3 (1-10p) +2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #

#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #

Maaari naming pagsamahin ang aming natukoy na dati # m # sa aming bagong tinutukoy # b # upang bigyan ang equation para sa linya:

#y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

Ang isang maliit na butil ay itinapon sa isang tatsulok mula sa isang dulo ng isang pahalang na base at ang greysing ang vertex ay bumaba sa kabilang dulo ng base. Kung alpha at beta ang base ang mga anggulo at angta ang anggulo ng projection, Patunayan na ang tan angta = tan alpha + tan beta?

Given na ang isang maliit na butil ay itinapon sa anggulo ng projection theta sa isang tatsulok DeltaACB mula sa isa sa mga dulo nito ng pahalang base AB nakahanay sa kahabaan ng X-aksis at ito sa wakas ay bumaba sa kabilang dulo Bof ang base, greysing ang vertex C (x, y) Hayaan mo ang bilis ng projection, T ay ang oras ng flight, R = AB ay ang pahalang na hanay at t ay ang oras na kinuha ng maliit na butil upang maabot sa C (x, y) Ang pahalang na bahagi ng bilis ng projection - > ucostheta Ang vertical na bahagi ng bilis ng projection -> usintheta Isinasaalang-alang ang paggalaw sa ilalim ng gravity nang walang anum

Ano ang equation ng tangent line ng r = tan ^ 2 (theta) - kasalanan (theta-pi) sa theta = pi / 4?

R = (2 + sqrt2) / 2 r = tan ^ 2 theta- sin (theta-pi) sa pi / 4 r = tan ^ 2 (pi / 4) - sin (pi / 4 -pi) r = 1 ^ - sin (3pi) / 4) r = 1-sin (5pi) / 4) r = 1 - (- sqrt2 / 2) r = 1 + sqrt2 / 2 r = (2 + sqrt2) / 2

Paano mo i-convert ang r = 3theta - tan theta sa Cartesian form?

X² + y² = (3tan ^ -1 (y / x) - y / x) ²; x> 0, y> 0 Mangyaring tingnan ang paliwanag para sa iba pang mga equation r = 3theta - tan (theta) Substitute sqrt (x² + y²) para r: sqrt (x² + y ²) = 3theta - tan (theta) : x² + y² = (3theta - tan (theta)) ² Kapalit y / x para sa tan (theta): x² + y² = (3theta - y / x) ²; x! = 0 Kapalit tan ^ -1 (y / x) para theta. TANDAAN: Dapat nating iakma ang theta na ibinalik sa pamamagitan ng invers tanging function na batay sa kuwadrante: Unang kuwadrante: x² + y² = (3tan ^ -1 (y / x) - y / x) ²; x> 0, y