Ito ay kilala na ang equation bx ^ 2 (a-3b) x + b = 0 ay may isang tunay na ugat. Patunayan na ang equation x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 ay walang tunay na pinagmulan.

Sagot:

Tingnan sa ibaba.

Paliwanag:

Ang mga ugat para sa # bx ^ 2 (a-3b) x + b = 0 # ay

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

Ang mga ugat ay magkakatulad at totoong kung

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

# a = b # o #a = 5b #

Ngayon paglutas

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # meron kami

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

Ang kalagayan para sa masalimuot na ugat ay

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

ngayon ginagawa #a = b # o #a = 5b # meron kami

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Pagtatapos, kung # bx ^ 2 (a-3b) x + b = 0 # may magkakatulad na tunay na ugat pagkatapos # x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # magkakaroon ng kumplikadong ugat.

Kami ay binibigyan na ang equation:

# bx ^ 2 (a-3b) x + b = 0 #

ay may isang tunay na ugat, samakatuwid ang diskriminant ng equation na ito ay zero:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. a = b #, o # a = 5b #

Hinahanap namin na ipakita ang equation:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

ay walang tunay na ugat. Ito ay nangangailangan ng negatibong diskriminasyon. Ang discriminant para sa equation na ito ay:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

At ngayon, isaalang-alang natin ang dalawang posibleng mga kaso na nagbibigay-kasiyahan sa unang equation:

Kaso 1: # a = b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Kaso 2: # a = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Kaya ang mga kondisyon ng unang equation ay tulad na ang pangalawang equation ay laging may negatibong discriminant, at samakatuwid ay may kumplikadong ugat (ibig sabihin walang tunay na ugat), QED