Paano mo mahanap ang lugar ng isang parallelogram na may vertices?

Sagot:

Para sa parallelogram #A B C D# ang lugar ay

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Paliwanag:

Ipagpalagay natin na ang ating parallelogram #A B C D# ay tinukoy ng mga coordinate ng apat na vertices nito - # x_A, y_A #, # x_B, y_B #, # x_C, y_C #, # x_D, y_D #.

Upang matukoy ang lugar ng aming parallelogram, kailangan namin ang haba ng base nito # | AB | # at ang altitude # | DH | # mula sa kaitaasan # D # upang ituro # H # sa gilid # AB # (yan ay, #DH_ | _AB #).

Una sa lahat, upang pasimplehin ang gawain, let's ilipat ito sa isang posisyon kapag ang kaitaasan nito # A # ay tumutugma sa pinagmulan ng mga coordinate. Ang lugar ay pareho, ngunit ang mga kalkulasyon ay magiging mas madali.

Kaya, gagawa kami ng sumusunod na pagbabago ng mga coordinate:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

Pagkatapos ay ang (# U, V #) coordinates ng lahat ng vertices ay magiging:

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

Ang aming parallelogram ngayon ay tinukoy ng dalawang vectors:

# p = (U_B, V_B) # at # q = (U_D, V_D) #

Tukuyin ang haba ng base # AB # bilang haba ng vector # p #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

Ang haba ng altitude # | DH | # maaaring ipahayag bilang # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

Ang haba #AD# ang haba ng vector # q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Anggulo # / _ BAD # ay maaaring tinutukoy sa pamamagitan ng paggamit ng dalawang expression para sa scalar (dot) produkto ng vectors # p # at # q #:

# (p * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

mula saan

# cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# sin ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Ngayon alam namin ang lahat ng mga bahagi upang makalkula ang lugar:

Base # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

Altitude # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Ang lugar ay ang kanilang produkto:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

Sa mga tuntunin ng orihinal na mga coordinate, ganito ang hitsura nito:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Sagot:

isa pang talakayan

Paliwanag:

Geometric proof

Isinasaalang-alang ang figure

madali naming maitatag ang formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang parallelogram ABCD, kapag ang anumang tatlong vertex (sabihin A, B, D) ay kilala.

Dahil diagonal BD bisects ang parallelogram sa dalawang congruent tatsulok.

Ang lugar ng parallelogram ABCD

= 2 lugar ng tatsulok na ABD

= 2 lugar ng trapezium BAPQ + lugar ng bitag BQRD - lugar ng bitag DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=(Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + kanselahin (Y_DX_D) -cancel (Y_BX_B) -Y_AX_D-cancel (Y_DX_D) + kanselahin (Y_AX_A) + Y_DX_A #

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Ang formula na ito ay magbibigay sa lugar ng parallelogram.

Patunay na isinasaalang-alang ang vector

Maaari din itong maitatago #vec (AB) # at# vec (AD) #

Ngayon

Posisyon ng vector ng punto A w.r, t ang pinagmulan O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Posisyon ng vector ng punto B w.r, t ang pinanggalingan O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Posisyon ng vector ng punto D w.r, t ang pinanggalingan O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Ngayon

Lugar ng Parallelogram ABCD

# = Base (AD) * Taas (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #

Muli

#vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Area = # | vec (AD) #X#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + kanselahin (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-cancel (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Sa gayon kami ay may parehong pormula

Ang dalawang rhombuses ay may panig na may haba ng 4. Kung ang isang rhombus ay may isang sulok na may isang anggulo ng pi / 12 at ang isa ay may isang sulok na may isang anggulo ng (5pi) / 12, ano ang pagkakaiba sa pagitan ng mga lugar ng mga rhombus?

Pagkakaiba sa Area = 11.31372 "" parisukat na mga yunit Upang kumpirmahin ang lugar ng isang rhombus Gamitin ang formula Area = s ^ 2 * sin angta "" kung saan s = gilid ng rhombus at theta = anggulo sa pagitan ng dalawang panig Compute the area of rhombus 1. Lugar = 4 * 4 * kasalanan ((5pi) / 12) = 16 * kasalanan 75 ^ @=15.45482 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ Compute the area of rhombus 2. Area = 4 * 4 * sin ((pi) / 12) = 16 * sin 15^@=4.14110 ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Compute the difference in Area = 15.45482-4.14110 = 11.31372 God bless .... I hope kapaki-pakinabang ang pali

Ang isang parallelogram ay may mga panig na A, B, C, at D. Mga gilid A at B ay may haba na 3 at panig na C at D ay may haba na 7. Kung ang anggulo sa pagitan ng panig A at C ay (7 pi) / 12, ano ang lugar ng parallelogram?

20.28 square units Ang lugar ng isang parallelogram ay ibinibigay sa pamamagitan ng produkto ng katabing mga panig na pinarami ng sine ng anggulo sa pagitan ng mga gilid. Narito ang dalawang katabing panig ay 7 at 3 at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 7 pi / 12 Ngayon Sin 7 pi / 12 radians = sin 105 degrees = 0.965925826 Substituting, A = 7 * 3 * 0.965925826 = 20.28444 sq units.

Ang isang tatsulok ay may vertices A, B, at C.Ang Vertex A ay may anggulo ng pi / 2, ang vertex B ay may anggulo ng (pi) / 3, at ang lugar ng tatsulok ay 9. Ano ang lugar ng incircle ng tatsulok?

Nakalagay ang bilog na Lugar = 4.37405 "" parisukat na mga unit Solve para sa mga gilid ng tatsulok gamit ang ibinigay na Area = 9 at ang mga anggulo A = pi / 2 at B = pi / 3. Gamitin ang sumusunod na mga formula para sa Lugar: Area = 1/2 * a * b * sin C Area = 1/2 * b * c * sin Isang Area = 1/2 * a * c * sin B kaya mayroon kaming 9 = 1 9 = 1/2 * b * c * sin (pi / 2) 9 = 1/2 * a * c * sin (pi / 3) Ang sabay na solusyon gamit ang mga equation na ito resulta ng isang = 2 * root4 108 b = 3 * root4 12 c = root4 108 malutas ang kalahati ng perimeter ss = (a + b + c) /2=7.62738 Paggamit ng mga panig na ito ng isang, b,