Hayaan ang G ay paikot na pangkat at G = 48. Paano mo mahanap ang lahat ng mga subgroup ng G?

Sagot:

Ang mga subgroup ay lahat ng paikot, na may mga order naghahati #48#

Paliwanag:

Ang lahat ng mga subgroup ng isang cyclic group ay ang kanilang mga sarili cyclic, na may mga order na mga divisors ng pagkakasunud-sunod ng grupo.

Upang makita kung bakit, ipagpalagay # G = <a> # ay paikot na may order # N # at #H sube G # ay isang subgroup.

Kung # a ^ m sa H # at # a ^ n sa H #, kaya nga # a ^ (pm + qn) # para sa anumang integer #p, q #.

Kaya # a ^ k sa H # kung saan #k = GCF (m, n) # at pareho # a ^ m # at # a ^ n # ay nasa # <a ^ k> #.

Sa partikular, kung # a ^ k sa H # may #GCF (k, N) = 1 # pagkatapos #H = <a> = G #.

Gayundin hindi na kung #mn = N # pagkatapos # <a ^ m> # ay isang subgroup ng # G # may pagkakasunud-sunod # n #.

Maaari nating pagbatayan:

• # H # ay hindi hihigit sa #1# generator.
• Ang pagkakasunud-sunod ng # H # ay isang kadahilanan ng # N #.

Sa aming halimbawa #N = 48 # at ang mga subgroup ay isomorphic sa:

# C_1 #, # C_2 #, # C_3 #, # C_4 #, # C_6 #, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

pagiging:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #