Ano ang pagkakaiba ng antiderivative at integral?

Walang mga pagkakaiba, ang dalawang salita ay magkasingkahulugan.

Depende ito sa ilang bagay. Aling antiderivative, ang pangkalahatan o isang partikular na? kung alin ang mahalaga o walang katiyakan? At, sino ang hinihiling namin?

Pangkalahatang Antiderivative at Indefinite Integral:

Maraming mga mathematician ang hindi nakikilala ang walang katiyakan at ang pangkalahatang antiderivative. Sa alinmang kaso para sa pagpapaandar # f # ang sagot ay #F (x) + C # kung saan #F '(x) = f (x) #..

Ang ilan (halimbawa, may-akda ng aklat na may-akda na si James Stewart) ay gumawa ng pagkakaiba. Ano ang tinutukoy ni Stewart bilang "ang pinaka-pangkalahatang" antiderivative ng # f #, kinikilala ang iba't ibang mga constants sa bawat discontiuity ng # f #. Halimbawa, sasagutin niya na ang pinaka pangkalahatang antiderivative ng # 1 / x ^ 2 # ay isang piecewise tinukoy na pag-andar:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # para sa #x <0 # at # (- 1) / x + C_2 # para sa #x> 0 #.

Ang walang katiyakan na bahagi ng # f #, sa paggamot na ito, ay palaging isang antiderivative sa ilang agwat sa kung saan # f # ay tuluy-tuloy.

Kaya #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, kung saan naiintindihan na ang domain ay nahihigpitan sa ilang mga subset ng alinman sa mga positibong reals o isang subset ng mga negatibong reals.

Partikular na Antiderivatives

Ang isang partikular na antiderivative ng # f # ay isang function # F # (sa halip na isang pamilya ng mga function) kung saan #F '(x) = f (x) #.

Halimbawa:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # para sa #x <0 # at # (- 1) / x + 1 # para sa #x> 0 #.

ay isang partikular na antidervative ng #f (x) = 1 / x ^ 2 #

At:

#G (x) = (- 1) / x-3 # para sa #x <0 # at # (- 1) / x + 6 # para sa #x> 0 #.

ay isang iba't ibang mga partikular na antidervative ng #f (x) = 1 / x ^ 2 #.

Tiyak na mga integral

Ang tiyak na kabuuan ng # f # mula sa # a # sa # b # ay hindi isang function. Ito ay isang numero.

Halimbawa:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(Upang higit pang kumplikado ang mga bagay, ang tiyak na mahalagang bahagi na ito ay matatagpuan, gamit ang Pangunahing Teorema ng Calculus, Bahagi 2, sa pamamagitan ng paghahanap ng una / hindi tiyak na integral / pangkalahatang antiderivative, pagkatapos ay paggawa ng somearitmetic.)

Ang iyong katanungan ay may kaugnayan sa kung ano ang tunay na "pangunahing pananaw" sa pagbuo ng calculus ni Isaac Newton at Gottfried Leibniz.

Ang pagtuon sa mga pag-andar na hindi kailanman negatibo, ang pananaw na ito ay maaaring ma-phrased bilang: "Maaaring gamitin ang antiderivatives hanapin Ang mga lugar (mga integral) at mga lugar (mga integral) ay maaaring gamitin upang tukuyin antiderivatives. "Ito ang kakanyahan ng Pangunahing Teorem ng Calculus.

Nang walang nag-aalala tungkol sa Riemann sums (pagkatapos ng lahat, Bernhard Riemann ay nanirahan halos 200 taon pagkatapos ng Newton at Leibniz pa rin) at pagkuha ng paniwala ng lugar bilang isang intuitive (hindi natukoy na) konsepto, para sa isang tuloy-tuloy na di-negatibong function #f (x) geq 0 # para sa lahat # x # may #a leq x leq b #, isipin lamang ang tiyak na simbolo ng integral # int_ {a} ^ {b} f (x) dx # bilang kumakatawan sa lugar sa ilalim ng graph ng # f # at sa itaas ng # x #-axis sa pagitan # x = a # at # x = b #. Kung isa pang function # F # ay maaaring matagpuan nang gayon #F '(x) = f (x) # para sa lahat #a leq x leq b #, pagkatapos # F # ay tinatawag na isang antiderivative ng # f # sa pagitan # a, b # at ang pagkakaiba #F (b) -F (a) # ay katumbas ng halaga ng tiyak na kabuuan. Yan ay, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #. Ang katotohanang ito ay kapaki-pakinabang para sa paghahanap ang halaga ng isang tiyak na integral (area) kapag ang isang formula para sa isang antiderivative ay matatagpuan.

Sa kabaligtaran, kung gagawin natin ang itaas na limitasyon ng simbolo ng integral na isang variable, tawagan ito # t #, at tukuyin ang isang function # F # sa pamamagitan ng pormula #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (kaya #F (t) # ay talagang ang lugar sa ilalim ng graph ng # f # sa pagitan # x = a # at # x = t #, ipagpalagay #a leq t leq b #), pagkatapos ay ang bagong function na ito # F # ay natukoy, naiiba, at #F '(t) = f (t) # para sa lahat ng mga numero # t # sa pagitan # a # at # b #. Ginamit namin ang isang mahalagang bahagi sa tukuyin isang antiderivative ng # f #. Ang katotohanang ito ay kapaki-pakinabang para sa approximating mga halaga ng isang antiderivative kapag walang formula para sa mga ito ay maaaring matagpuan (gamit ang mga numerical pamamaraan ng pagsasama tulad ng Simpson's tuntunin). Halimbawa, ginagamit ito sa lahat ng oras sa pamamagitan ng mga istatistika kapag humigit-kumulang na mga lugar sa ilalim ng Normal na curve. Ang mga halaga ng isang espesyal na antiderivative ng karaniwan Normal curve ay madalas na ibinigay sa isang table sa mga libro ng istatistika.

Sa kaso kung saan # f # ay may mga negatibong halaga, ang kinakailangang integral ay dapat na naisip sa mga tuntunin ng "naka-sign na mga lugar".