Lutasin ang mga sumusunod na equation sa natural na mga numero: x² + y² = 1997 (x-y)?

Sagot:

# (x, y) = (170, 145) # o # (x, y) = (1817, 145) #

Paliwanag:

Ang sumusunod na katibayan ay batay sa na sa aklat na "Isang Panimula sa Diophantine Equations: Isang Diskarte-Batay Diskarte" sa pamamagitan ng Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu.

Ibinigay:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 1997 (x-y) #

Hayaan #a = (x + y) # at #b = (1997-x + y) #

Pagkatapos:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (1997 (x-y) + xy) #

# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

Kaya nakikita natin:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

Mula noon #1997# ay kalakasan, # a # at # b # walang karaniwang kadahilanan na mas malaki kaysa sa #1#.

Kaya mayroong umiiral na positive integers #m, n # may #m> n # at walang karaniwang kadahilanan na mas malaki kaysa sa #1# tulad na:

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} kulay (puti) (XX) "o" {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn):} #

Naghahanap sa # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # sa mod #3# at mod #5# aritmetika, nakita namin:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #3#) kaya #m - = + -1 # at #n - = + -1 # (mod #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #5#) kaya #m - = + -1 # at #n - = + -1 # (mod #5#)

Nangangahulugan iyon na ang tanging mga posibilidad para sa #m, n # modulo #15# ay #1, 4, 11, 14#.

Bilang karagdagan tandaan na:

# m ^ 2 sa (1997/2, 1997) #

Kaya:

#m sa (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~~ (31.6, 44.7) #

Kaya ang mga posibilidad lamang para sa # m # ay #34, 41, 44#

Nakita namin:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# hindi isang perpektong parisukat.

#1997 - 44^2 = 61# hindi isang perpektong parisukat.

Kaya # (m, n) = (34, 29) #

Kaya:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#kulay puti)()#

Kung # (a, b) = (1972, 315) # pagkatapos ay:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

at kaya:

# (x, y) = (1817, 145) #

#kulay puti)()#

Kung # (a, b) = (315, 1972) # pagkatapos ay:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

at kaya:

# (x, y) = (170, 145) #