Sagot:
Paliwanag:
Ang sumusunod na katibayan ay batay sa na sa aklat na "Isang Panimula sa Diophantine Equations: Isang Diskarte-Batay Diskarte" sa pamamagitan ng Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu.
Ibinigay:
# x ^ 2 + y ^ 2 = 1997 (x-y) #
Hayaan
Pagkatapos:
# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #
# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (1997 (x-y) + xy) #
# = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #
#=1997^2#
Kaya nakikita natin:
# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #
Mula noon
Kaya mayroong umiiral na positive integers
# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} kulay (puti) (XX) "o" {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn):} #
Naghahanap sa
# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod#3# ) kaya#m - = + -1 # at#n - = + -1 # (mod#3# )
# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod#5# ) kaya#m - = + -1 # at#n - = + -1 # (mod#5# )
Nangangahulugan iyon na ang tanging mga posibilidad para sa
Bilang karagdagan tandaan na:
# m ^ 2 sa (1997/2, 1997) #
Kaya:
#m sa (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~~ (31.6, 44.7) #
Kaya ang mga posibilidad lamang para sa
Nakita namin:
#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#
#1997 - 41^2 = 316# hindi isang perpektong parisukat.
#1997 - 44^2 = 61# hindi isang perpektong parisukat.
Kaya
Kaya:
# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #
o
# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #
Kung
# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #
at kaya:
# (x, y) = (1817, 145) #
Kung
# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #
at kaya:
# (x, y) = (170, 145) #