Ano ang lokal na extrema ng f (x) = xlnx-xe ^ x?

Sagot:

Ang function na ito ay walang lokal na extrema.

Paliwanag:

#f (x) = xlnx-xe ^ x ay nagpapahiwatig #

#g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

Para sa # x # upang maging isang lokal na extremum, #g (x) # dapat ay zero. Ipapakita na natin ngayon na hindi ito mangyayari para sa anumang tunay na halaga ng # x #.

Tandaan na

(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {''} (x) = -1 / x ^ 2 (x + 3) e ^ x #

Kaya naman #g ^ '(x) # mawawala kung

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Ito ay isang transendental equation na maaaring malutas ayon sa bilang. Mula noon #g ^ '(0) = + oo # at #g ^ '(1) = 1-3e <0 #, ang ugat ay namamalagi sa pagitan ng 0 at 1. At dahil #g ^ {''} (0) <0 # para sa lahat ng positibo # x #, ito ang tanging root at tumutugma ito sa isang maximum para sa #g (x) #

Madali madali upang malutas ang equation ayon sa bilang, at ipinakikita nito ito #g (x) # mayroong pinakamataas sa # x = 0.3152 # at ang pinakamataas na halaga ay #g (0.3152) = -1.957 #. Dahil ang maximum na halaga ng #g (x) # ay negatibo, walang halaga ng # x # Kung saan #g (x) # nawala.

Maaaring makatutulong na tingnan ito nang graphically:

graph {x mag-log (x) -x e ^ x -0.105, 1, -1.175, 0.075}

Tulad ng makikita mo mula sa graph sa itaas, ang function #f (x) # talagang may isang maximum sa # x = 0 # - ngunit hindi ito isang lokal na maximum. Ang graph sa ibaba ay nagpapakita na #g (x) equiv f ^ '(x) # hindi kailanman tumatagal ang halaga ng zero.

graph {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0.105, 1, -3, 0.075}