Ano ang halaga ng? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Sagot:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

Paliwanag:

Hinahanap namin ang:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

Parehong ang numerator at ang2 denominator #rarr 0 # bilang #x rarr 0 #. kaya ang limitasyon # L # (kung umiiral ito) ay isang hindi tiyak na anyo #0/0#, at dahil dito, maaari naming ilapat ang panuntunan ng L'Hôpital upang makakuha ng:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)

# = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)

Ngayon, gamit ang pangunahing teorema ng calculus:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

At,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

At kaya:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

Muli ito ay isang walang katiyakan na anyo #0/0#, at dahil dito, maaari naming ilapat muli ang panuntunan ng L'Hôpital upang makakuha ng:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Alin, maaari nating suriin ang:

# L = (0) / (2-0) = 0 #