Mayroon bang isang sistematikong paraan upang matukoy ang bilang ng mga numero sa pagitan ng 10 at, halimbawa, 50, na mahahati ng kanilang mga unit na numero?

Sagot:

Ang bilang ng mga numero sa pagitan #10# at # 10k # mahahati sa pamamagitan ng kanilang mga unit digit ay maaaring katawanin bilang

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

kung saan #fl (x) # kumakatawan sa pag-andar sa sahig, paggawa ng mga mapa # x # sa pinakadakilang integer na mas mababa sa o katumbas ng # x #.

Paliwanag:

Katumbas ito sa pagtatanong kung gaano karaming mga integer # a # at # b # umiiral kung saan # 1 <= b <5 # at # 1 <= a <= 9 # at # a # nahahati # 10b + a #

Tandaan na # a # nahahati # 10b + a # kung at tanging kung # a # nahahati # 10b #. Kaya, sapat na upang makita kung gaano karaming mga tulad # b #umiiral para sa bawat isa # a #. Gayundin, tandaan na # a # nahahati # 10b # kung at kung lamang ang bawat kalakasan kadahilanan ng # a # din ay isang kalakasan kadahilanan ng # 10b # na may angkop na multiplicity.

Ang lahat ng nananatili, kung gayon, ay dumadaan sa bawat isa # a #.

#a = 1 #: Tulad ng lahat ng integers ay mahahati ng #1#, lahat ng apat na halaga para sa # b # trabaho.

# a = 2 #: Tulad ng #10# ay mahahati sa pamamagitan ng #2#, lahat ng apat na halaga para sa # b # trabaho.

# a = 3 #: Tulad ng #10# ay hindi mahahati ng #3#, dapat mayroon tayo # b # na mahahati sa #3#, yan ay, # b = 3 #.

# a = 4 #: Tulad ng #10# ay mahahati sa pamamagitan ng #2#, dapat mayroon tayo # b # gaya ng nakikita ng #2# upang magkaroon ng angkop na multiplicity. Kaya, # b = 2 # o # b = 4 #.

# a = 5 #: Tulad ng #10# ay mahahati sa pamamagitan ng #5#, lahat ng apat na halaga para sa # b # trabaho.

# a = 6 #: Tulad ng #10# ay mahahati sa pamamagitan ng #2#, dapat mayroon tayo # b # gaya ng nakikita ng #3#, yan ay, # b = 3 #.

# a = 7 #: Tulad ng #10# ay hindi mahahati ng #7#, dapat mayroon tayo # b # gaya ng nakikita ng #7#. Ngunit #b <5 #, at kaya walang halaga para sa # b # gumagana.

# a = 8 #: Tulad ng #10# ay mahahati sa pamamagitan ng #2#, dapat mayroon tayo # b # gaya ng nakikita ng #4#, yan ay, # b = 4 #

# a = 9: # Bilang #10# ay hindi mahahati ng #3#, dapat mayroon tayo # b # gaya ng nakikita ng #3^2#. Ngunit #b <5 #, at kaya walang halaga para sa # b # gumagana.

Tinatapos nito ang bawat kaso, at sa gayon, pagdaragdag ng mga ito, nakukuha natin, tulad ng natapos sa tanong, #17# mga halaga. Gayunpaman, ang pamamaraan na ito ay madaling mapalawak sa mas malalaking halaga. Halimbawa, kung gusto naming umalis #10# sa #1000#, hahadlangan natin # 1 <= b <100 #. Pagkatapos, tumingin sa # a = 6 #, sabihin natin, magkakaroon tayo #2# nahahati #10# at sa gayon #6# nahahati # 10b # kung at tanging kung #3# nahahati # b #. Mayroong #33# multiples of #3# sa saklaw para sa # b #, at sa gayon #33# mga numero na nagtatapos sa #6# at nahahati sa #6# sa pagitan #10# at #1000#.

Sa isang mas maikli, madali upang kalkulahin ang notasyon, gamit ang mga obserbasyon sa itaas, maaari naming isulat ang bilang ng mga integer sa pagitan #10# at # 10k # bilang

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl (k / (n / gcd (n, 10))) = sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

kung saan #fl (x) # kumakatawan sa pag-andar sa sahig, paggawa ng mga mapa # x # sa pinakadakilang integer na mas mababa sa o katumbas ng # x #.

Si Jane, Maria, at Ben ay may isang koleksyon ng mga koleksyon ng mga lilok na yari sa marmol. Si Jane ay may 15 higit pang mga koleksyon ng mga lilok na yari sa marmol kaysa kay Ben, at si Maria ay may 2 beses na maraming mga koleksyon ng mga lilok na yari sa marmol bilang Ben Lahat sila ay may 95 mga koleksyon ng mga lilok na yari sa marmol. Gumawa ng isang equation upang matukoy kung gaano karaming mga koleksyon ng mga lilok na yari sa marmol Jane, Maria, at Ben ay may?

Si Ben ay may 20 marbles, Jane ay may 35 at si Maria ay may 40 Hayaan x ay ang halaga ng mga marbles Ben ay Pagkatapos Pagkatapos ay may x + 15 at Maria ay may 2x 2x + x + 15 + x = 95 4x = 80 x = 20 samakatuwid, ang Ben ay may 20 mga koleksyon ng mga lilok na yari sa marmol, Jane ay may 35 at Maria ay may 40

Mayroong 120 mag-aaral na naghihintay na maglakbay sa field. Ang mga mag-aaral ay may bilang na 1 hanggang 120, ang lahat ng mga bilang ng mga mag-aaral ay nagpapatuloy sa bus1, ang mga ibinabahagi ng 5 ay pumunta sa bus2 at yaong ang mga numero ay mahahati ng 7 ay pumunta sa bus3. Gaano karaming mga estudyante ang hindi nakarating sa anumang bus?

41 mga estudyante ay hindi nakapasok sa anumang bus. Mayroong 120 mag-aaral. Sa Bus1 kahit na bilang numero ng i.e. bawat ikalawang mag-aaral napupunta, kaya 120/2 = 60 mag-aaral pumunta. Tandaan na ang bawat sampung mag-aaral ay i sa kabuuan ng 12 mag-aaral, na maaaring umalis sa Bus2 ay naiwan sa Bus1. Tulad ng bawat ikalimang mag-aaral ay napupunta sa Bus2, ang bilang ng mga mag-aaral na pumunta sa bus (mas mababa sa 12 na nawala sa Bus1) ay 120 / 5-12 = 24-12 = 12 Ngayon ang mga mahahati sa 7 pumunta sa Bus3, na 17 (bilang 120/7 = 17 1/7), ngunit ang mga may mga numero (14,28,35,42,56,70,84,98,105,112) - sa lahat ng 10

Si Penny ay tumitingin sa kanyang mga damit na aparador. Ang bilang ng mga dresses na kanyang pag-aari ay 18 higit sa dalawang beses ang bilang ng mga demanda. Sama-sama, ang bilang ng mga dresses at ang bilang ng mga nababagay sa kabuuang 51. Ano ang bilang ng bawat isa na kanyang pag-aari?

Si Penny ay mayroong 40 na dresses at 11 na nababagay. Hayaan ang d at ang bilang ng mga dresses at demanda ayon sa pagkakabanggit. Sinabihan kami na ang bilang ng mga dresses ay 18 higit sa dalawang beses ang bilang ng mga nababagay. Samakatuwid: d = 2s + 18 (1) Sinasabi rin sa amin na ang kabuuang bilang ng mga dresses at demanda ay 51. Kaya d + s = 51 (2) Mula sa (2): d = 51-s Substituting for d in ) sa itaas: 51-s = 2s + 18 3s = 33 s = 11 Substituting para sa s sa (2) sa itaas: d = 51-11 d = 40 Kaya ang bilang ng mga damit (d) ay 40 at ang bilang ng mga demanda ) ay 11.